????????無意中看到一本游戲數(shù)值的書，里面講到牛頓插值，還簡單講了一下它的思想與推導(dǎo)。這引起了我的興趣，于是也在北航的《工程數(shù)值分析引論》里找到類似的內(nèi)容。但這部分都是作為小引的存在，“假裝”推導(dǎo)一下，然后就直接“類似地”，跳到如何構(gòu)建差商表上。今天就想推導(dǎo)一下，到底是如何得出差商形式的插值公式的。

推導(dǎo)

????????假設(shè)插值函數(shù)用表示。

????????當(dāng)只有一個節(jié)點(diǎn)??時，沒什么好說的：，即函數(shù)的值都為?.

????????如果我們想增加一個節(jié)點(diǎn)，而還能利用上一個表達(dá)式時，很自然會想到：令

?

因?yàn)楫?dāng)??時，已經(jīng)滿足??了，所以令后面的項(xiàng)為零，寫成??的形式。

????????上式需滿足?，故代入?：

于是

是一個直線公式。

????????那如果再加一個節(jié)點(diǎn)呢？類似地令

滿足?，即

是一個差商形式。

????????也可化成：

這就是我們常用的形式。

????? ? 我也想，不一樣可以是函數(shù)嗎？畫成圖大概這樣：

?與??一起使式子等于?。但其實(shí)??的任務(wù)只是滿足一個點(diǎn)，?是常數(shù)也可以。

????????至此，教材的小引結(jié)束，后面就是講差商表了。但我就是不能理解“類似地”，之后的n階也一定是這樣嗎？我再推一下。

????????

比較

????????列式的時候已發(fā)現(xiàn)，?的最末一項(xiàng)的因子??相乘，肯定會比前面的項(xiàng)多一個因子?，這個將來就是作??的分母。而前面的項(xiàng)每除以一個因子（按順序），就會變出一個差商，這很美妙。

????????但這個差商形式與我們通常的形式不大一樣，因?yàn)槲也粫仆ǔＰ问絒捂臉]。如果差商通常形式的構(gòu)建過程畫成圖是這樣：

????????而我推的形式是：

每一個必用到前面一列的第一個來構(gòu)建，私以為還要稍稍好記（通用形式的分母易寫錯）。

????????我相信這2種形式是等價的，但我數(shù)學(xué)太差不會推，還望大佬指點(diǎn)。