散文網(wǎng) » 科技 »學(xué)習(xí) » 極化碼數(shù)學(xué)原理(二)-Adapted Process

極化碼數(shù)學(xué)原理(二)-Adapted Process

2023-07-12 11:08 作者:樂(lè)吧的數(shù)學(xué) 0人讀過(guò) | 我要投稿

(錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV13m4y1E7Bx/）

定義在概率空間 ? $(%5COmega%2C%20F%2C%20P)$ 上的一個(gè) Filtration 域流，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程，使之隨機(jī)過(guò)程中每個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量，在域流中對(duì)應(yīng)的子空間上可以計(jì)算概率（可測(cè)的），則稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是 Adapted 于這個(gè)域流。

事件空間 F 的多個(gè)子集（子空間），滿足一定條件就構(gòu)成了域流 Filtration。

我們以抽取 1 到 10 的 10個(gè)自然數(shù)，抽 1 次，我們已知每個(gè)數(shù)被抽取到的概率為 1/10。

則樣本空間? $%5COmega%3D%5C%7B1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C6%2C7%2C8%2C9%2C10%5C%7D$

事件空間就是 $F_3%3DF$ ，總共由 $2%5E%7B10%7D%3D1024$ ?個(gè)元素組成

概率測(cè)度 P= 1/10.

第 0 天，沒(méi)有告訴任何關(guān)于抽取結(jié)果的信息，則這個(gè)時(shí)候，定義隨機(jī)變量為 $X_0$ , 子事件空間為 $F_0%3D%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%20%5C%7D$ , 對(duì)應(yīng)的是“沒(méi)有抽取，或者抽取了但是沒(méi)有告訴結(jié)果”。

第1天，告訴抽取的結(jié)果的奇偶，則這個(gè)時(shí)候定義隨機(jī)變量為 $X_1$ , 子事件空間為 $F_1%3D%5C%7B%5Cphi%2C%20%5COmega%2C%20A_%7Bodd%7D%2C%20A_%7Beven%7D%5C%7D$ , 其中?

$A_%7Bodd%7D%20%3D%20%5C%7B1%2C3%2C5%2C7%2C9%5C%7D$ ?和? $A_%7Beven%7D%20%3D%20%5C%7B2%2C4%2C6%2C8%2C10%5C%7D$

第2天，告訴抽取的結(jié)果的被 4 除后的余數(shù)，則這個(gè)時(shí)候定義隨機(jī)變量為 $X_2$ ,? 以及：

$A_1%20%3D%20%5C%7B1%2C5%2C9%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%0AA_2%20%3D%20%5C%7B2%2C6%2C10%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%0AA_3%20%3D%20%5C%7B3%2C7%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%0AA_0%20%3D%20%5C%7B4%2C8%5C%7D$

則定義子事件空間 $F_2$ 為由? $A_1%2CA_2%2CA_3%2CA_0$ ?生成的 $%5Csigma$ ?域.

第3天，告訴最終的抽取結(jié)果，定義隨機(jī)變量為 $X_3$ ，則事件空間就是 $F_3%3DF$ ，總共由 $2%5E%7B10%7D%3D1024$ ?個(gè)元素組成。

則 $%20%5C%7BF_0%2CF_1%2CF_2%2CF_3%5C%7D$ ? 就構(gòu)成了一個(gè)域流，因?yàn)? $F_0%20%5Csubset%20F_1%20%5Csubset%20F_2%20%5Csubset%20F_3$

那么隨機(jī)變量 $X_i$ ?在對(duì)應(yīng)的子事件空間 $F_i$ ?上都是可以計(jì)算概率的，即可測(cè)的。則稱(chēng)之為隨機(jī)過(guò)程 $X%3D%7BX_0%2CX_1%2CX_2%2CX_3%7D$ ? 在域流 $%5C%7BF_0%2CF_1%2CF_2%2CF_3%5C%7D$ ? 是適應(yīng)的(Adapted).