這篇我們主要研究如何利用部分分式來(lái)求有理函數(shù)的積分問(wèn)題

一、有理函數(shù)

形如

的函數(shù)叫做有理函數(shù)，其中p和q都是多項(xiàng)式

比如：

二、如何求解有理函數(shù)的積分

利用分部計(jì)算法（部分分式）求解（當(dāng)然這是對(duì)于難題的通用解法）

有時(shí)候還需要用到多項(xiàng)式除法（又要用word編輯了//ω//）

三、多項(xiàng)式除法

多項(xiàng)式除法，就是兩個(gè)多項(xiàng)式相除的算法，這個(gè)算法可以將復(fù)雜的多項(xiàng)式分式化簡(jiǎn)為很多個(gè)小項(xiàng)，這些小項(xiàng)都相對(duì)比較容易計(jì)算。

準(zhǔn)備你的紙和筆，我們先學(xué)習(xí)如何計(jì)算多項(xiàng)式除法：

1.  首先我們得知道（這是小學(xué)的知識(shí)）被除式與除式的關(guān)系：
   

2. 設(shè)有有理函數(shù)

3. 進(jìn)行多項(xiàng)式除法，建立我們小學(xué)學(xué)過(guò)的除法算法：

4. 很簡(jiǎn)單，就跟我們小學(xué)學(xué)除法的算法是一樣的，只是引入了未知數(shù)x而已：

5. 分析除式和被除式之間的關(guān)系：

根據(jù)第四步，我們發(fā)現(xiàn)：

被除式=5x^2+x-3

除式=x^2-1

所以根據(jù)關(guān)系式，就有

6. 等號(hào)兩邊除以x^2-1，得到：

其實(shí)多項(xiàng)式除法就是用來(lái)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的.

四、部分分式

是時(shí)候回到積分的問(wèn)題了

Topic就是如何利用部分分式來(lái)解決多項(xiàng)式積分

還是那個(gè)例子

1. 首先，看到比較難的有理函數(shù)，第一個(gè)想到的就應(yīng)該是化簡(jiǎn)。怎么化簡(jiǎn)？多項(xiàng)式除法??！

2. 幸運(yùn)的是，我們已經(jīng)在“三”中解決了這個(gè)多項(xiàng)式除法，得出

3. 這樣有理函數(shù)就變成了這種形式

4. 我們是要求這個(gè)函數(shù)的積分，所以要對(duì)這個(gè)函數(shù)求積：

5.利用積分的運(yùn)算法則，得到：

第一項(xiàng)十分好求，但第二項(xiàng)呢

顯然第二項(xiàng)是十分煩人的，但它卻要成為我引入分部公式的例子

6. 為了求解

我們得用另外一種方法，它叫做分部，規(guī)則如下：（十分重要，一定要記?。?/strong>

7. 我們要運(yùn)用第6步提供的公式：

先進(jìn)行因式分解，即：

我們發(fā)現(xiàn)分母有兩個(gè)線(xiàn)性式，分別是x+1和x-1，所以根據(jù)部分分式就有：

接下來(lái)就應(yīng)該解出A和B，其實(shí)也很簡(jiǎn)單，只要同分然后確定A和B的值就行了

即

如果令x=1，那么B=3/2

如果令x=-1，那么A=-1/2

也就是

8. 代入積分式，得到

即

9.將這個(gè)結(jié)果代入原來(lái)的積分，得到

標(biāo)簽：