在2.1節(jié)中我們介紹了正則量子化的方法，它只是量子場(chǎng)論中量子化的一種方式。比如我們利用Covariant對(duì)易關(guān)系：

注意G是一個(gè)c-number（這個(gè)c-number的解釋比較復(fù)雜，大家可以參考書中的參考文獻(xiàn)）。利用上面的對(duì)易關(guān)系，代替正則對(duì)易關(guān)系。這個(gè)對(duì)易關(guān)系的好處是更接近廣義相對(duì)論的理論，因?yàn)樗麤]有單獨(dú)的指出一個(gè)特定的時(shí)間。但是它也可以給出相同的產(chǎn)生湮滅算符的對(duì)易關(guān)系。在全局漸進(jìn)時(shí)空中這兩個(gè)對(duì)易關(guān)系是近似等價(jià)的。

在1965年，F(xiàn)eynman提出路勁積分量子化。它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具在量子引力和相互作用場(chǎng)論的量子化中，以及隨之而來(lái)的重整化問題。這里只是大概的介紹，具體的研究可以參見其中的參考文獻(xiàn)。

這個(gè)理論的基礎(chǔ)是場(chǎng)和作用量函數(shù)的積分：

這里要積分整個(gè)空間。并且Z可以理解為由初始in態(tài)躍遷到out態(tài)時(shí)的躍遷振幅，在其中，J是一個(gè)產(chǎn)生粒子的源。關(guān)閉源時(shí)，這兩個(gè)真空將還原為通常的無(wú)源真空，閔科夫斯基空間真空 0，人們可以得到：

通常根據(jù)歸一化得到為1.

通過(guò) Z 關(guān)于 J 的函數(shù)微分，可以得出：

給出這個(gè)理論的連續(xù)，時(shí)間序列Green函數(shù)。這里的角標(biāo)c表示微擾理論中的Feynman圖。

作為例子，我們考慮一個(gè)自由標(biāo)量場(chǎng)的案例:

其中，L0自由標(biāo)量場(chǎng)Lagrangian，并且無(wú)限小因子可以用來(lái)控制函數(shù)積分時(shí)的發(fā)散。我們帶入Lagrangian并且通過(guò)部分積分，這個(gè)作用量變?yōu)椋?/p>

我們要去掉一個(gè)邊界項(xiàng)。則有：

這個(gè)對(duì)稱算符：

它是一個(gè)對(duì)稱的矩陣，并且有以下屬性：

這個(gè)最后的結(jié)果是通過(guò)翻轉(zhuǎn)Feynman傳播子的定義。這些屬性在D函數(shù)的積分中是很好定義的。

改變積分變量為：

可以將量子化形式寫為：

可以看出第二項(xiàng)是獨(dú)立于場(chǎng)算符的，所以可以從積分中被移除，同時(shí)第一項(xiàng)獲得一個(gè)Gaussian類型的積分，并且可以給出一個(gè)數(shù)值因子。

因此：

其中

是Jacobian來(lái)自于積分變量的改變。

通過(guò)這個(gè)正比公式，得到：

對(duì)于自旋為1/2的場(chǎng)，函數(shù)Z變?yōu)椋?/p>

其中eta是反對(duì)易外加的流，并且我們要改變拉矢量：

電磁場(chǎng)的理論相應(yīng)到規(guī)范對(duì)稱性。為了看到這點(diǎn)我們得到：

則有：

當(dāng)zeta區(qū)域無(wú)窮大時(shí)，會(huì)有一個(gè)奇點(diǎn)。因此電磁場(chǎng)的量子化不能如此這樣進(jìn)行，問題在于規(guī)范不變性。如果我們?cè)诶噶恐屑尤雽?duì)稱破壞項(xiàng)，則會(huì)在有限的zeta下獲得不變的波算符和Green函數(shù)。

因?yàn)槔噶渴且?guī)范不變的，它也是獨(dú)立于A中的縱向分量和類時(shí)分量。即 K 投射出橫向場(chǎng)分量。因此，A 的縱向分量和時(shí)間分量的任何變化都會(huì)使"L"保持不變。更廣義地說(shuō)，通過(guò)規(guī)范變換與原始 A 相關(guān)的 A，將使"L"保持不變。

這里的分析比較復(fù)雜，讀者可以參考書中的內(nèi)容。