【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep136】函數(shù)的連續(xù)性在計算極限時的應(yīng)用（二）
習(xí)題——
77函數(shù)的連續(xù)性在計算極限時的應(yīng)用
求極限對x∈R有，x→∞時，lim{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)-x}，式中是a1，a2，...，ak給定的常數(shù)。
解：
（因為不確定中括號中各項都是非負(fù)整數(shù)，所以不能用均值不等式，因為涉及k次方，故而想到k次多項式的差值公式。）
令y=[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)，則
y-x
=(y^k-x^k)/[y^(k-1)+y^(k-2)x+...+x^(k-1)]
=[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)-x^k]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}
=[[x^k+(a1+a2+...+ak)x^(k-1)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)x^(k-2)+....-x^k]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}.——分子展開前三項
=[(a1+a2+...+ak)x^(k-1)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)x^(k-2)+....]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}
=[(a1+a2+...+ak)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)/x+....]/{[(1+a1/x)+(1+a2/x)+...+(1+ak/x)]^[(k-1)/k]+[(1+a1/x^2)+(1+a2/x^2)+...+(1+ak/x^2)]^[(k-2)/k]x+...+1]}——上下同約分x^(k-1)
分母各項都趨向于1，共k項，分子除了首項都趨向于0，所以，
x→∞時，lim{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)-x}=(a1+a2+...+ak)/k.
