R語言小數(shù)定律的保險(xiǎn)業(yè)應(yīng)用：泊松分布模擬索賠次數(shù)
原文鏈接：http://tecdat.cn/?p=14080
?
?
在保險(xiǎn)業(yè)中，由于分散投資，通常會(huì)在合法的大型投資組合中提及大數(shù)定律。在一定時(shí)期內(nèi)，損失“可預(yù)測”。當(dāng)然，在標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)下，即有限的期望值和獨(dú)立性。由于在保險(xiǎn)業(yè)中，災(zāi)難通常很少發(fā)生，而且代價(jià)非常高昂，精算師可能有興趣對少量事件的發(fā)生進(jìn)行建模。背后的定理有時(shí)也被稱為小數(shù)定律。
?
泊松分布
所謂的泊松分布（請參閱http://en.wikipedia.org/…）由SiméonPoisson于1837年進(jìn)行了介紹。亞伯拉罕·德·莫伊夫（Abraham De Moivre）于1711年在De Mensura Sortis seu對其進(jìn)行了定義。
讓??
表示一個(gè)計(jì)數(shù)隨機(jī)變量，然后它是服從泊松分布，如果有??
這樣
De Moivre從二項(xiàng)式分布的近似值獲得了該分布?；叵胍幌拢?xiàng)式分布是精算科學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)分布，例如，用來模擬
被保險(xiǎn)人死亡人數(shù)??。如果單個(gè)死亡概率相同，例如
，并且如果死亡是獨(dú)立事件，則
而如果??
和??
，然后
再次，這是一個(gè)漸近定理，當(dāng)我們有很多觀察值時(shí)（
）成立，它也成立，而且出現(xiàn)的可能性應(yīng)該非常小（因?yàn)?/p>
），這就是為什么要使用術(shù)語“?小數(shù)”的原因。SiméonPoisson對數(shù)學(xué)近似值不感興趣：他的主要觀點(diǎn)是針對他正在處理的數(shù)據(jù)獲得具有良好擬合優(yōu)度的分布。
小數(shù)定律
與Poisson分布有關(guān)的主要定理的啟發(fā)式如下：??
表示iid隨機(jī)變量采用值
（一般情況下，一個(gè)分量可以是時(shí)間，另一分量可以是感興趣的上部區(qū)域，其中某些隨機(jī)過程是可能）。讓
。如果??
作為假設(shè)
（或
更具體地假設(shè)），則??
表示事件的（隨機(jī)變量表征）計(jì)數(shù)
，則??
可以通過帶有參數(shù)的泊松分布來近似
。
啟發(fā)式方法是，如果考慮大量觀察值，并且計(jì)算給定（?。﹨^(qū)域中有多少觀察值，則此類觀察值的數(shù)量就是泊松分布。
n=1000polygon(c(u,rev(u)),c(v,rev(-v)),col="yellow",border=NA)I=(X^2+Y^2)<1points(X[I],Y[I],cex=.6,pch=19,col="red")
?
如果我們進(jìn)行一些模擬
> ?n=1000> ?ns=100000> ?N=rep(NA,ns)>+++++>> mean(N)[1] 31.41257
?
泊松分布的參數(shù)是黃色圓盤的面積，即正方形的面積，即
> lines(0:60-.5,dpois(0:60,lambda),type="b",col="red")
?
為了獲得與保險(xiǎn)模型有關(guān)的解釋，讓我們??
在再保險(xiǎn)合同中表示上層，即
某些可扣除額
。讓我們??
來表示個(gè)人損失。然后，可以使用泊松分布對到達(dá)該上層的索賠的數(shù)量進(jìn)行建模。更準(zhǔn)確地說，如果自付額??
變得非常大（和
），我們將獲得極值理論中的閾值點(diǎn)以上模型：如果??
有一個(gè)泊松分布，并在有條件的
，??
是獨(dú)立同分布的廣義帕累托隨機(jī)變量，然后?
具有廣義的極值分布。因此，超出模型（針對罕見事件）與泊松過程密切相關(guān)。
泊松過程
如上所述，當(dāng)事件以某種方式隨機(jī)且獨(dú)立地隨時(shí)間發(fā)生時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)泊松分布。然后很自然地研究兩次事件之間的時(shí)間（或在保險(xiǎn)范圍內(nèi)兩次索賠）。
泊松分布和索賠發(fā)生
既不是SiméonPoisson也不是De Moivre，而是Ladislaus Von Bortkiewicz首先提到了Poisson分布是小數(shù)定律。1898年，他研究了1875年至1894年間被馬踢倒殺死的士兵的人數(shù)，其中有200個(gè)兵團(tuán)。
他確實(shí)獲得了以下分布（此處，泊松分布的參數(shù)為0.61，即每年的平均死亡人數(shù)）
?
在很多情況下，泊松分布都非常適合。例如，如果我們考慮1850年后在佛羅里達(dá)州的颶風(fēng)數(shù)量，
泊松分布和回歸期
返回期是由Emil Gumbel在水文學(xué)中介紹的，用于鏈接概率和持續(xù)時(shí)間。十年事件的發(fā)生概率為1/10。那么10是發(fā)生之前的平均等待時(shí)間。這并不意味著該事件不會(huì)在10年之前發(fā)生，或者必須在10年之前發(fā)生?？紤]一個(gè)返回期??
（以年為單位），則每年不出現(xiàn)的概率為
。
則
多年未發(fā)生的概率為??
。通常用下表來總結(jié)此屬性，
上表中的對角線非常有趣。似乎在某種程度上趨向極限值（此處為63.2％）。在n年內(nèi)觀察到的事件數(shù)量具有二項(xiàng)式分布，其概率為
，將收斂到參數(shù)為1的泊松分布。那么
，沒有災(zāi)難的概率為，等于0.632。
稀有概率與泊松分布
計(jì)算稀有事件的概率時(shí)，泊松分布不斷出現(xiàn)。例如，在50年的時(shí)間里，至少有一次在核電廠發(fā)生事故的可能性。假設(shè)在反應(yīng)堆中發(fā)生事故的年概率??
很小，例如0.05％。進(jìn)一步假設(shè)反應(yīng)堆在時(shí)間上相互獨(dú)立。在50年內(nèi)發(fā)生超過80個(gè)反應(yīng)堆的事件的概率是
當(dāng)然，線性近似是不正確的
另一方面
>>[1] 0.1812733>[1] 0.1812692
?
這是具有參數(shù)為的泊松分布
時(shí)為零??的概率??。我們在這里清楚地看到近似在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用。
解決這個(gè)問題的另一種方法是基于以下思想：鑒于在對全球450座反應(yīng)堆進(jìn)行的45年觀察中（，觀察到了三起重大事故，包括“三哩島”（1979年）和“福島”（2011年），即兩次事故之間的平均時(shí)間估計(jì)為16年。對于單個(gè)反應(yīng)堆，我們可以假設(shè)事件發(fā)生之前等待的平均時(shí)間是16年的450倍，即7200年?；蛘撸粋€(gè)反應(yīng)堆在一年內(nèi)發(fā)生一次事件的概率是7200以上的事件之一（這是“返還期”概念背后的想法）。如果我們假設(shè)事故的到來是隨機(jī)且彼此獨(dú)立發(fā)生的（如上定義），則在50年內(nèi)觀察到的重大事故數(shù)量遵循參數(shù)為50 /（7200/80）的泊松分布。也，
即
>[1] 0.4262466
?
參考文獻(xiàn)
1.R語言泊松Poisson回歸模型分析案例
2.R語言進(jìn)行數(shù)值模擬：模擬泊松回歸模型
3.r語言泊松回歸分析
4.R語言對布豐投針（蒲豐投針）實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬和動(dòng)態(tài)可視化
5.用R語言模擬混合制排隊(duì)隨機(jī)服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)
6.GARCH（1,1），MA以及歷史模擬法的VaR比較
7.R語言做復(fù)雜金融產(chǎn)品的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模擬
8.R語言進(jìn)行數(shù)值模擬：模擬泊松回歸模型
9.R語言對巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)下的再保險(xiǎn)合同定價(jià)研究案例：廣義線性模型和帕累托分布Pareto distributions
?
