上一篇我們講到了“1+1=2”的數(shù)學(xué)內(nèi)含，也許在數(shù)的世界里，本身就蘊(yùn)含著萬物靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的“規(guī)律”?；凇皵?shù)集”和“運(yùn)算”，行列式、矩陣成了現(xiàn)代科學(xué)問題的重要轉(zhuǎn)化對(duì)象。換句話說，你似乎可以發(fā)現(xiàn)，矩陣運(yùn)算在生活中無處不在，起初主要為解決線性方程組服務(wù)的，但隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的“分支”有著豐富的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，也成為了獨(dú)立的學(xué)科——《線性代數(shù)》。

對(duì)于“雞兔同籠”、“牛吃草、追及”、“盈虛有數(shù)”等等都是以“兩元”為基礎(chǔ)（元指代的是問題研究的對(duì)象），由此二元一次方程組的元素系數(shù)便構(gòu)成了最簡單的二階矩陣。而推廣到N階矩陣的基礎(chǔ)則是三階矩陣（這似乎和古文中“三亦是多”的概念不謀而合），其中三階方陣又是最為基本的。所以，熟悉三階方陣的特點(diǎn)，往往就可以推廣到更高階的矩陣特征。

對(duì)于兩個(gè)三階方陣A和B來說，通常會(huì)考慮存在內(nèi)在的聯(lián)系，譬如：等價(jià)（存在可逆矩陣P和Q，使得PAQ=B）、合同（存在可逆矩陣P，使得P^TAP=B）、相似（存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B）、正交相似（相似的基礎(chǔ)上，P為正交矩陣，即P^T= P^-1）等。由此，正交相似矩陣一定是相似且合同的，而且不論是相似矩陣還是合同矩陣，都是等價(jià)矩陣。

而一個(gè)三階方陣需要用9個(gè)元素填充其內(nèi)，而且還是以“面排列”形式的二維數(shù)據(jù)，當(dāng)然，依據(jù)固定要求可存儲(chǔ)為一行，但還可以壓縮相關(guān)的數(shù)據(jù)。譬如：衛(wèi)星上存在的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣則通過四元數(shù)存儲(chǔ)（即四個(gè)數(shù)表示一個(gè)矩陣）。而對(duì)于一個(gè)三階可逆方陣，最重要的就是尋找它的“特征值”與各個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的“特征向量”，這也可以看成是三階可逆方陣的壓縮信息源。那么，可逆三階方陣A的充要條件有什么呢？主要包括：A的行列式|A|≠0；A的秩r（A）=3；行向量和列向量均線性無關(guān)；Ax=0只有零解。

關(guān)于特征值和特征向量，一般用λ和α表示，則按照定義，其滿足λα=Aα，轉(zhuǎn)化即求(λE-A)α=0存在非零解，即特征方程|λE-A|=0（若只有零解，則|λE-A|≠0）。那么，有關(guān)可逆方陣A中特征值的一般特性有：A和AT有相同的特征值（這就表明了有相同特征值的方陣不一定相同）；若A的每行元素或每列元素絕對(duì)值之和小于1，則|λ|也小于1；特征值之和等于方陣A對(duì)角線元素之和（也稱之為“跡”），特征值之積等于|A|（這是最為重要的一條特征，可以表征出特征值與方陣元素和行列式之間的關(guān)系）；若特征值互不相同，其對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)（需要注意的是：單個(gè)零向量線性相關(guān)，單個(gè)非零向量線性無關(guān)）。由此，可以推出：kλ是kA的特征值；λ^k是A^k的特征值；1是單位陣E的特征值；|A|/λ是A伴隨矩陣A*的特征值。

對(duì)于A的特征方程得到一組線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成Q，則可使得Q^-1AQ=，得到的結(jié)果為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素即為特征值。當(dāng)然，當(dāng)特征方程有重根時(shí)，就不一定有完備的線性無關(guān)的特征向量使得其對(duì)角化。但是，對(duì)于特殊的實(shí)對(duì)稱矩陣來說，其必定能對(duì)角化，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定是正交的，從而可以根據(jù)施密特正交化過程（過程如圖1）得到正交向量組Q^T= Q^-1，其中Q的列和行均為單位向量，因此也稱之為標(biāo)準(zhǔn)向量組。

進(jìn)而，若A是個(gè)實(shí)對(duì)稱方陣，其存在二次型和標(biāo)準(zhǔn)形的轉(zhuǎn)化，在統(tǒng)計(jì)和解析幾何中應(yīng)用頗為廣泛。轉(zhuǎn)化主要分為三種：配方法（注意區(qū)別平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)）、初等行/列變換法（左乘初等行變換，同時(shí)右邊作用初等列變換，如圖2所示）和正交替換法（此法較為繁瑣，一般不用）。

另外，對(duì)于對(duì)角矩陣進(jìn)而可以化為規(guī)范形（即以0，-1和1構(gòu)成的對(duì)角矩陣元方陣），如圖3所示。

則它們的個(gè)數(shù)依次可以代表0指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)和正慣性指數(shù)。據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)形或者規(guī)范形后，可以將其分為正定（全>0）、負(fù)定（全<0）、半正定（全≥0）、半負(fù)定（全≤0）和不定，除不定外，其余四種構(gòu)成了方陣的有定性。方陣進(jìn)過非退化線性變換后，原本的有定性不變。因此，正定方陣的充要條件如下：標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)；正慣性指數(shù)為方陣階次；與單位陣E合同；其特征值均為正；各階順序主子式為正。而其行列式為正僅僅是必要條件。若A正定，則其逆矩陣、伴隨矩陣、高次矩陣均正定，且主對(duì)角元素為正。正定矩陣的和矩陣也正定。

以上是有關(guān)矩陣的背景性質(zhì)和屬性，有些“好”的矩陣（如：正定、對(duì)稱等）都有豐富的“特殊性”，那么正定對(duì)稱陣就是“上乘”矩陣，越是“上乘”就越是“稀缺”，這個(gè)似乎是肯定的。而在實(shí)際問題的研究中，涉及矩陣的通常有：坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換（旋轉(zhuǎn)矩陣、波矢分析）、譜矩陣（一般是共軛對(duì)稱陣）、三維曲面二次型矩陣（包括平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)）、Hessian矩陣（對(duì)稱陣，可用于極大似然函數(shù)法的參數(shù)估計(jì)）、協(xié)方差矩陣（對(duì)稱陣）、▽算符等等。

無論是求解線性方程組的解還是求擬合方程的參數(shù)，均可以構(gòu)造系數(shù)矩陣進(jìn)行線性化處理。當(dāng)然，實(shí)際上，觀測(cè)樣本往往會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于需求解的各單元或待擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)，可認(rèn)為其為“超定方程”，但其依然可以得到系數(shù)矩陣進(jìn)行求解。隨著計(jì)算機(jī)水平的飛速發(fā)展，這些問題基本上都可以轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行運(yùn)算處理，從而得出結(jié)果，并同時(shí)給出相關(guān)的誤差范圍。需要注意的是，這里考慮的樣本認(rèn)定是“同權(quán)”的，即每一個(gè)樣本都是獨(dú)立同分布，才往往適用，而當(dāng)出現(xiàn)每個(gè)樣本獨(dú)立不同分布，卻需要用同樣的擬合函數(shù)進(jìn)行擬合時(shí)，是需要考慮“加權(quán)”的（權(quán)重“重分配”），亦或是通過“蒙卡”的思想多次進(jìn)行數(shù)據(jù)“重采樣”，得到更加可靠的擬合結(jié)果。對(duì)于樣本，還能通過聚類得到分類結(jié)果，也可以通過主成分分析得到各個(gè)成分（或者“元”）對(duì)結(jié)果的貢獻(xiàn)程度等。

往往可以將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)——“矩陣”，基于矩陣的各種運(yùn)算得到問題的解答，便是現(xiàn)代科學(xué)分支的重要基石之一，它串聯(lián)起了函數(shù)、方程組、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)等，將信息學(xué)和計(jì)算方法相聯(lián)，搭建起觀測(cè)與理論中的“橋梁”，引你“渡過”這片看似深沉的泥淖，探索橋下泥淖的“長度”、“深度”和“密度”，回頭看看已是溪水汨汨，清澈見底，倒影著藍(lán)天白云，徹底變成了一番模樣。