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該類題在多處考察過多次。

該類題最早出現(xiàn)在thussat上，之后被不斷改編。

該類題做題的方法就是用遞推關(guān)系相減，然后就再觀察遞推公式的特點(diǎn)，最后平方發(fā)現(xiàn)共同特點(diǎn)，就可以同構(gòu)，最后就可以做出來了。

數(shù)列在高中的學(xué)習(xí)中，我們知道等差數(shù)列和等比數(shù)列以及某些特殊的數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。但是僅僅掌握這些是不夠的，接下來說一下數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和的一些方法。

??? 一、數(shù)列通項(xiàng)。

??? 1.定義法

????? 顧名思義，就是可以看出數(shù)列an或者關(guān)于an的表達(dá)式，比如an2-1等等，求出表達(dá)式的通項(xiàng)公式，就可以求an的通項(xiàng)公式。

????? 例1：已知數(shù)列an滿足an2-an-12=1,a1=1,求an的通項(xiàng)公式、

???????? 解：由題可以看出an2是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

?????????? 故an2=1+(n-1)=n

?????????? an=√n(n∈N+)

??? 例2：已知數(shù)列an,bn,a1=b1=1。bn是等差數(shù)列，公差為1，且滿足(1/an+1)-(1/an)=b2n+2-b2n，求an.

??? 2.累加法

??????? 由例2的解題步驟，我們發(fā)現(xiàn)用了累加法。什么是累加法？對于數(shù)列an,bn.滿足an-an-1=bn,這樣我們就可以求an的通項(xiàng)公式了，具體步驟如下：

?

??? 3.累乘法

??????? 與累加法類似，累乘法適用于an=bn*an-1時的情況。

??? 4.配湊法

??????? an=man-1+bn（m≠1）時，可用配湊法。

??? 5.特征根法

??????? ①形如pan+1+qan+r=0的數(shù)列，列出特征根方程px2+qx+r=0

??????? 如果x?≠x?，則可設(shè)an=c?x?n+c?x?n,代入a?,a?解出c?,c?代回原式即可

??????? 如果只有一解（兩根相等），an=(c?+nc?)xn

??????? 如果無解，則an就是周期數(shù)列

??????? ②

（此圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

??? 6.其它

??????? 其它方法比較多，有取到數(shù)法，裂項(xiàng)法（主要求前n項(xiàng)和），結(jié)合以上方法基本就可以做出來了

??? ?。?！.若表達(dá)式中有Sn和an一般 往下寫一次（即將n+1代換n再寫一個表達(dá)式），然后兩式相減。

??? ···.有些特殊的遞推式也需要兩式相減，如

，再向前寫一項(xiàng)，兩式相減就可以了。

??? 。。。.迭代法

??? ，，，.取對數(shù)法

??? 二、數(shù)列求和

??? 1.公式法

??????? 這個大家都很熟悉了，直接套公式就行。

??? 2.裂項(xiàng)相消（很常用）

??????? 如果遇到很麻煩的求和的話，不要緊張，一般都是裂項(xiàng)求和。放縮裂項(xiàng)在證明不等式中也很常用。

??????? 一般形式an=bn+1-bn，Sn=bn+1-b1 ? ?

??????????

??????? 有一年的高考題：

求前n項(xiàng)和。

??????? 可以裂項(xiàng)

然后再求前n項(xiàng)和。

?

（部分放縮裂項(xiàng)）

??? 3.倒序相加法

??????? 其實(shí)這在求等差數(shù)列前n項(xiàng)和中有所體現(xiàn)。

??? 4.錯位相減法

??????? 其實(shí)這在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和中有所體現(xiàn)。

??????? 錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和適應(yīng)于cn=anbn，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列。

??? 5.分組求和法

??????? 顧名思義，就是把數(shù)列拆成幾個部分，分別求前n項(xiàng)和，再相加。

???

??? ☆數(shù)列an=n2的前n項(xiàng)和 ：

??????? 由于n3-（n-1）3=n2+(n-1)2+n2-n =2n2+(n-1)2-n=3n2-3n-n+1

☆斐波那契數(shù)列

通項(xiàng)公式：

??? 用特征根法求：

?

?