前言

? ? ? ??在前面的文章中我已經(jīng)推導(dǎo)了Buck、Boost和Buck-Boost三種拓?fù)涞母髟?yīng)力，但這是在恒功輸出的控制邏輯下推導(dǎo)的，即開關(guān)電源會(huì)以保持輸出電壓（或者電流）恒定為第一目標(biāo)。因此根據(jù)P?= V*I可知，當(dāng)開關(guān)電源的輸入電壓Vin降低時(shí)，開關(guān)電源會(huì)嘗試增大輸入電流Iin以保證輸出功率Pout恒定，若Vin→0V時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)Iin→∞A的極端情況（Buck拓?fù)涑猓?/p>

? ? ? ??然而在主動(dòng)式功率因數(shù)校正電路中，電路需要模擬電阻的行為，其控制邏輯更改為恒阻輸入。因此根據(jù)R?= U/I可知，當(dāng)電源的輸入電壓Vin降低時(shí)，電源的輸入電流Iin反而需要減小，特別是Vin→0V時(shí)，Iin→0A。由于行為發(fā)生了改變，因此有必要重新對(duì)各元件應(yīng)力進(jìn)行重新推導(dǎo)。

? ? ? ??鑒于大多數(shù)主動(dòng)式功率因數(shù)校正使用的是Boost拓?fù)洌ㄒ驗(yàn)锽oost輸入電流連續(xù)），為節(jié)省工作量吾只對(duì)Boost拓?fù)涓髟?yīng)力公式（主要是電流應(yīng)力）進(jìn)行推導(dǎo)。本文僅提供結(jié)論，推導(dǎo)過程省略。

目錄

1、占空比

2、電感各應(yīng)力

????2.1 傳輸功率、模擬電阻與電感電流直流分量

????2.2 伏秒積與電感電流交流分量

????2.3 電感電流紋波系數(shù)

????2.4 電感電流峰值與有效值

????2.5 電感電流波形

3、開關(guān)管各應(yīng)力

????3.1 開關(guān)管電流峰值、平均值與有效值

????3.2 開關(guān)管電流波形

4、二極管各應(yīng)力

????4.1 二極管電流峰值、平均值與有效值

????4.2 二極管電流波形

5、輸入電容各應(yīng)力

????5.1 輸入電容電流有效值

????5.2 輸入電容電流波形

????5.3 輸入電壓紋波波形

6、輸出電容各應(yīng)力

????6.1 輸出電容電流有效值

????6.2 輸出電容電流波形

????6.3 輸出電壓紋波波形

正文

1、占空比

????????在主動(dòng)式功率因數(shù)校正（PFC）電路中有三種工作模式：連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）、臨界導(dǎo)通模式（BCM）和斷續(xù)導(dǎo)通模式（DCM）。其中BCM和DCM多應(yīng)用于低功率的PFC，元件一般不會(huì)承受很大的應(yīng)力，如何降低成本才是主要的；而大功率的PFC終究需要使用CCM。因此本文的公式是基于電路工作在CCM下推導(dǎo)的。

????????一般而言PFC電路的輸入電壓Vin是變動(dòng)值，如經(jīng)過整流的220V,50Hz電壓。以220V,50Hz電壓輸入為例，其電壓斜率（dv/dt）的最大值約為97.7kV/s，而PFC電路的開關(guān)頻率fsw至少20kHz以上。在一次開關(guān)周期內(nèi)，輸出電壓Vin的變化量△V至多為4.89V（一階微分近似），約占平均輸入電壓的2.5%，僅為紋波電壓的水平。因此可以近似在一次開關(guān)周期內(nèi)Vin是恒定值，即準(zhǔn)靜態(tài)。

????????同時(shí)在已知輸出電壓Vout的情況下，預(yù)估二極管壓降VD和開關(guān)管壓降VQ后，可近似計(jì)算開關(guān)的占空比D（Duty Cycle）。占空比的推導(dǎo)基于電感在CCM下的伏秒（準(zhǔn)）平衡，與控制邏輯無關(guān)。

? ? ????PFC電路的控制邏輯一般不會(huì)改變自己的輸出電壓Vout，因此只需關(guān)注輸入電壓Vin的變化對(duì)D的影響（此處設(shè)定Vout = 400V）。

? ??????可以發(fā)現(xiàn)D與Vin呈現(xiàn)負(fù)線性關(guān)系，其規(guī)律為：輸入電壓最小、輸出電壓最大時(shí)占空比最大；輸入電壓最大、輸出電壓最小時(shí)占空比最小，即Dmax?= D(Vin_min,Vout_max)，Dmin = D(Vin_max,Vout_min)。

????????若以時(shí)間t作為自變量，Vin分別為經(jīng)過整流后的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓，繪制的占空比的波形如下兩張圖所示：

? ??????可以看到占空比波形為輸入電壓波形的翻轉(zhuǎn)。因?yàn)檩斎腚妷涸谝淮握抑芷趦?nèi)會(huì)兩次觸零，所以占空比也會(huì)在一次正弦周期內(nèi)兩次觸1。

2、電感各應(yīng)力

????2.1 傳輸功率、模擬電阻與電感電流直流分量

????????這里需要對(duì)PFC的傳輸功率進(jìn)行詳細(xì)說明：雖然PFC的控制邏輯是以恒阻輸入為第一控制目標(biāo)，但最終仍要實(shí)現(xiàn)功率平衡。若PFC的傳輸功率與后方電路所消耗的功率不匹配，必然導(dǎo)致平均輸出電壓Vout逐漸偏離原設(shè)定值，從而違背輸出電壓恒定的設(shè)定。雖然根據(jù)P = V2/R可知，在變動(dòng)的輸入電壓下恒阻輸入會(huì)導(dǎo)致變動(dòng)的傳輸功率，但若輸入電壓按照一定的周期重復(fù)，則可以計(jì)算周期內(nèi)的平均傳輸功率Pavg。

? ??????輸入電壓周期內(nèi)的平均傳輸功率Pavg即為輸入電壓的有效值Vin_rms在模擬電阻Re上產(chǎn)生的功耗。因?yàn)镻avg?= Pout（此處忽略傳輸損耗），所以PFC電路的模擬電阻阻值Re為：

? ? ? ? 因?yàn)樵贐oost拓?fù)渲须姼兄苯优c輸入端串聯(lián)，所以電感電流的直流分量Idc等于輸入電流Iin，再根據(jù)歐姆定律可知Idc的行為將完全復(fù)制輸入電壓Vin的行為，僅幅值上相差一定的系數(shù)，該系數(shù)即為模擬電阻Re。為方便后續(xù)計(jì)算，使用一定的數(shù)學(xué)手段消去Vin，得到僅有占空比D的計(jì)算式。

? ??????通過計(jì)算式可以知道，電感電流的直流分量Idc將在輸入電壓最大、輸出功率最大、輸入電壓有效值最小時(shí)達(dá)到最大值，即Idc_max?=?Idc(Vin_max,Pout_max,Vin_rms_min)。其中前者對(duì)應(yīng)于最小的D，后兩者對(duì)應(yīng)于最小的Re。

? ? 2.2 伏秒積與電感電流交流分量

????????伏秒積V·t定義為電感所承受電壓與所承受時(shí)間的乘積；電感電流交流分量Iac為伏秒積除以電感值L的一半。兩者均與占空比有關(guān)，與模擬電阻無關(guān)。

? ??????可以得知，伏秒積和電感電流交流分量的最大值出現(xiàn)在占空比D?= 0.5時(shí)。因此PFC電路在低輸入電壓時(shí)（110V,60Hz），因?yàn)檩斎腚妷旱姆逯挡蛔阋允沟肈 ≤?0.5，所以V·t和Iac的最大值出現(xiàn)在輸入電壓的峰值時(shí)刻；而在高輸入電壓時(shí)（220V,50Hz），因?yàn)檩斎腚妷旱姆逯底銐蚴沟肈 ≤?0.5，所以V·t和Iac將會(huì)呈現(xiàn)先變大，后變小，再變大，再變小的“M”形規(guī)律（詳見2.5章節(jié)）。?

? ? 2.3 電感電流紋波系數(shù)

????????電感電流紋波系數(shù)r（ripple）定義為電感電流紋波峰峰值Ipp（兩倍的Iac）與電感電流的直流分量Idc的比值。將Ipp和Idc分別代入定義式可得：

? ??????通過觀察圖像可知，電感電流紋波系數(shù)與占空比基本呈正比關(guān)系，僅在占空比非常接近1的時(shí)候突然急速下降至0。這意味著隨著輸入電壓Vin的增加，r值是逐漸減小的（忽略D = 1的鄰域）。

????????時(shí)刻需要記住：r?>?2將意味著PFC電路進(jìn)入DCM，電路若需要維持在CCM必須保證r的最大值不能超過2。通過計(jì)算式可知r的最大值將在模擬電阻Re達(dá)到最大時(shí)出現(xiàn)，一般為Vin_rms_max或者Pout空載的工況。同時(shí)在特定的D值達(dá)到最大值，通過以下計(jì)算式可算得特定的D值以及r的最大值。

? ??????由于VQ與Vout相比非常小，因此α非常接近0，從而導(dǎo)致Dr_max→1，rmax→Re/(Lf)。

? ? 2.4 電感電流峰值與有效值

????????電感電流峰值Ipk定義為電感電流直流分量Idc和交流分量Iac的加和；電感電流有效值Irms定義為電感電流波形的均方根。通過數(shù)學(xué)手段消去Vin得：

? ? ? ? 可以看到電感電流峰值Ipk和電感電流有效值Irms的最大值出現(xiàn)在D = 0的時(shí)候，其變化規(guī)律與恒功輸出完全相反，并且Irms的與D的關(guān)系近似負(fù)線性，說明直流分量貢獻(xiàn)了絕大部分的有效值。在準(zhǔn)靜態(tài)工況中，Ipk和Irms的最大值出現(xiàn)在模擬電阻Re最小的時(shí)候（即Pout_max和Vin_rms_min），因此需要根據(jù)最小的Re來設(shè)計(jì)電感。

????2.5 電感電流波形

????????以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。將Idc、Iac、Ipk和Irms繪制于同一圖中，其效果如下所示：

? ??????電感電流紋波系數(shù)r的波形如下所示：

? ??????最終電感的實(shí)際電流波形為：

? ??????為了讓讀者直觀感受交流分量波形，對(duì)開關(guān)頻率fsw進(jìn)行了低于實(shí)際頻率的夸張?zhí)幚?。若以真?shí)的開關(guān)頻率繪制（僅繪制半個(gè)正弦周期），其電感電流波形為：

3、開關(guān)管各應(yīng)力

????3.1 開關(guān)管電流峰值、平均值與有效值

????????開關(guān)管電流峰值IQ_pk等同于電感電流峰值Ipk。根據(jù)Ipk的規(guī)律，其IQ_pk的最大值將于Dmin、Re_min的工況下出現(xiàn)，等效于Vin_max、Pout_max和Vin_rms_min。

????????開關(guān)管電流平均值IQ_avg定義為電感電流直流分量Idc乘以占空比；開關(guān)管電流有效值IQ_rms定義為開關(guān)管電流波形的均方根。通過數(shù)學(xué)手段消去Vin得：

? ? ? ??IQ_avg和IQ_rms的最大值均出現(xiàn)在Re最小的準(zhǔn)靜態(tài)工況。同時(shí)對(duì)于最大值的所在的占空比D和最大值由以下式子計(jì)算獲得。

? ??????由于IQ_avg和IQ_rms的準(zhǔn)確值計(jì)算非常繁雜，并且VQ與Vout相比非常小，因此給出近似值。通過此可以發(fā)現(xiàn)兩者的應(yīng)力出現(xiàn)位置大不相同，IQ_avg的最大值出現(xiàn)在D?≈?0.5的位置，而IQ_rms的最大值出現(xiàn)在D?≈?0.33的位置，并且有效值比平均值大約1.54倍。在選用開關(guān)管的時(shí)候，需要根據(jù)開關(guān)管的類型而選擇IQ_avg還是IQ_rms計(jì)算開關(guān)管的導(dǎo)通損耗。

????????需要提醒：這里計(jì)算的是準(zhǔn)靜態(tài)工況下可能達(dá)到的最大值，但在實(shí)際電路中，該最大值的準(zhǔn)靜態(tài)工況不一定出現(xiàn)。并且就算準(zhǔn)靜態(tài)工況出現(xiàn)，其也是維持非常短暫的時(shí)間，最終開關(guān)管所體現(xiàn)的IQ_avg和IQ_rms并不會(huì)如此之大，直接根據(jù)圖3.1.5計(jì)算并選用開關(guān)管是一個(gè)較為保守的設(shè)計(jì)。

????3.2 開關(guān)管電流波形

????????為以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。將IQ_avg、IQ_rms和IQ_pk繪制于同一圖中，其效果如下所示：

? ??????最終開關(guān)管的實(shí)際電流波形為：

? ??????與電感電流波形一樣，為了讓讀者直觀感受開關(guān)跳變波形，對(duì)開關(guān)頻率進(jìn)行了低于實(shí)際頻率的夸張?zhí)幚?，同時(shí)波形圖像改為顏色填充。

4、二極管各應(yīng)力

????4.1 二極管電流峰值、平均值與有效值

????????二極管電流峰值ID_pk等同于電感電流峰值Ipk。根據(jù)Ipk的規(guī)律，其ID_pk的最大值將于Dmin、Re_min的工況下出現(xiàn)，等效于Vin_max、Pout_max和Vin_rms_min。

????????二極管電流平均值定義為電感電流直流分量Idc乘以負(fù)占空比；二極管電流有效值定義為二極管電流波形的均方根。通過數(shù)學(xué)手段消去Vin得：

? ??????ID_avg和ID_rms的最大值均出現(xiàn)在Re最小的準(zhǔn)靜態(tài)工況，以及D最小的動(dòng)態(tài)工況，即Re_min和Dmin。其最大值為：

? ??????在此提醒：圖4.1.4中所計(jì)算的最大值為D = 0時(shí)候的值，但在實(shí)際的PFC電路中很少達(dá)到（一般也不允許達(dá)到）D = 0的情況，因此直接按照?qǐng)D4.1.4計(jì)算的最大值選用二極管是一個(gè)較為保守的設(shè)計(jì)。

????4.2 二極管電流波形

????????為以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。將ID_avg、ID_rms和ID_pk繪制于同一圖中，其效果如下所示：

? ??????最終二極管的實(shí)際電流波形為：

? ??????與開關(guān)管電流波形一樣，為了讓讀者直觀感受開關(guān)跳變波形，對(duì)開關(guān)頻率進(jìn)行了低于實(shí)際頻率的夸張?zhí)幚?，以及波形采用填色方式繪制。

????????觀察圖4.2.1和圖4.2.2的ID_avg可以發(fā)現(xiàn)，其形狀甚似帶有直流偏置的余弦波，其實(shí)它為正矢函數(shù)，即versine(x) =?1-cos(x) = 2*sin2(0.5*x)。根據(jù)能量守恒，正弦波形的電壓在恒阻負(fù)載上產(chǎn)生的功率為正矢波形，而又因?yàn)檩敵鲭妷簽槌?shù)，所以輸出平均電流等于功率波形，同樣為正矢函數(shù)。

5、輸入電容各應(yīng)力

????5.1 輸入電容電流有效值

????????輸入電容將對(duì)電感電流的交流分量進(jìn)行旁路，鑒于PFC電路的工作要求，輸入電容不得將低頻交流分量（50Hz）進(jìn)行旁路，只能將開關(guān)頻率（>20kHz）以及各類寄生振蕩（>1MHz）的高頻交流分量旁路（即容量不得太大）。輸入電容需要能夠承受電感電流中的高頻交流分量有效值ICin_rms_HF。

? ??????可以看到輸入電容高頻電流有效值ICin_rms_HF的最大值出現(xiàn)在D = 0.5的時(shí)候，其規(guī)律與Iac相似，與模擬電阻Re無關(guān)。

????????需要注意，這里僅計(jì)算了高頻電流的有效值，并沒有計(jì)算低頻電流的有效值。低頻電流來自于輸入電壓Vin本身對(duì)Cin的充放電，其有效值與Vin的波形有關(guān)。若未得知Vin的波形則無法計(jì)算出低頻電流有效值ICin_rms_LF，也就無法獲知輸入電容電流的總有效值。不過由于PFC電路多用于正弦輸入電壓的場(chǎng)合，對(duì)于220V,50Hz輸入的正弦電壓，低頻電流的有效值ICin_rms_LF = 220*(2π*50*Cin)?≈?0.152A（假設(shè)Cin?=?2.2μF），低于高頻分量的有效值。因此在總有效值中，高頻電流的有效值將占據(jù)大多數(shù)的比例。

????5.2 輸入電容電流波形

????????以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。將ICin_rms_HF繪制于圖中，其效果如下所示：

? ??????最終輸入電容的實(shí)際電流波形為（已包含低頻電流分量）：

? ??????同前，為了讓讀者直觀感受開關(guān)跳變波形，對(duì)開關(guān)頻率進(jìn)行了低于實(shí)際頻率的夸張?zhí)幚怼?/p>

????5.3 輸入電壓紋波波形

????????由于高頻電流和低頻電流同時(shí)對(duì)輸入電容作用，電壓紋波分量具有充放電分量和ESR分量（以及ESL分量，此處忽略），以及PFC電路輸入端的EMI濾波器對(duì)不同頻率分量具有不同的阻抗，其輸入電壓紋波是由多個(gè)因素的相互作用產(chǎn)生的結(jié)果，其計(jì)算相比普通恒功輸出電源困難。因此此處暫不給出計(jì)算式，僅提供輸入電壓紋波波形。

????????同上以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。由于降低開關(guān)頻率會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)誤的紋波電壓，所以此處將以真實(shí)的開關(guān)頻率進(jìn)行繪制。

? ??????注：圖像由輸入電容電流波形進(jìn)行積分后，經(jīng)過4階、截止頻率為2kHz的高通數(shù)字濾波器后得到。

6、輸出電容各應(yīng)力

????6.1 輸出電容電流有效值

????????輸出電容負(fù)責(zé)將二極管脈沖電流平滑，因此其需要進(jìn)行大幅度的充放電。輸出電容需要能夠承受二極管高頻脈沖電流的有效值ICout_rms_HF。

? ??????可以看到輸出電容高頻電流有效值ICout_rms_HF的最大值出現(xiàn)在D ≈ 0.25的時(shí)候，其規(guī)律與IQ_rms相似，在模擬電阻Re達(dá)到最小值時(shí)ICout_rms_HF達(dá)到最大。

????????需要注意，這里僅計(jì)算了高頻電流的有效值，并沒有計(jì)算低頻電流的有效值。低頻電流來自于二極管平均電流，其有效值與ID_avg的波形有關(guān)。若未得知ID_avg的波形則無法計(jì)算出低頻電流有效值ICout_rms_LF，也就無法獲知輸入電容電流的總有效值。不同于輸入電容，輸出電容電流的總有效值中，低頻電流的有效值反而占據(jù)大多數(shù)的比例。

? ? 6.2 輸出電容電流波形

????????以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。將ICout_rms_HF繪制于圖中，其效果如下所示：

? ??????最終輸出電容的實(shí)際電流波形為（已包含低頻電流分量）：

? ??????同前，為了讓讀者直觀感受開關(guān)跳變波形，對(duì)開關(guān)頻率進(jìn)行了低于實(shí)際頻率的夸張?zhí)幚?，以及采用填色方式繪制波形。

?

????6.3 輸出電壓紋波波形

????????由于二極管脈沖電流同時(shí)具有高頻分量和低頻分量，電壓紋波分量具有充放電分量和ESR分量（以及ESL分量，此處忽略），以及負(fù)載端對(duì)變化的電壓有不同的阻抗，其輸出電壓紋波是由多個(gè)因素的相互作用產(chǎn)生的結(jié)果，其計(jì)算相比普通恒功輸出電源困難。因此此處暫不給出計(jì)算式，僅提供輸入電壓紋波波形。

????????同樣以時(shí)間t作為自變量，輸入電壓Vin分別為經(jīng)過整流的220V,50Hz和110V,60Hz正弦電壓。由于降低開關(guān)頻率會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)誤的紋波電壓，所以此處將以真實(shí)的開關(guān)頻率進(jìn)行繪制。

? ??????注：圖像由假設(shè)負(fù)載為CC負(fù)載并對(duì)輸出電容電流波形進(jìn)行積分后得到。

后記

????????本文乃Buck、Boost和Buck-Boost三種拓?fù)涞母髟?yīng)力文章的舉一反三之作。由于參考書籍并沒有對(duì)此類情況進(jìn)行分析與推導(dǎo)（指高頻電流部分，低頻電流詳見書本的14.3章節(jié)），因此吾只能自行編寫仿真程序用計(jì)算機(jī)計(jì)算并繪制波形，再與公式所繪制的圖像進(jìn)行比對(duì)，以校驗(yàn)公式的正確性。若讀者發(fā)現(xiàn)公式或圖像錯(cuò)誤之處，歡迎在評(píng)論區(qū)予以指出糾正。

參考書籍：[美]Sanjaya Maniktala 著,?王建強(qiáng)等 譯.?精通開關(guān)電源設(shè)計(jì)[M].?中國(guó)工信出版集團(tuán),?人民郵電出版社；

使用MATLAB繪制圖像。

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by HD-nuke8800

編寫完成于： 2023/07/12