函數(shù)奇偶性的四則運算推導(dǎo)

設(shè)f(x)、g(x)為奇函數(shù)，有

-f(x)=f(-x)，-g(x)=f(-x)

設(shè)F(x)，G(x)為偶函數(shù)，有

F(-x)=F(x)，G(-x)=G(x)，則

• 奇函數(shù)+奇函數(shù)

令h(x)=f(x)+g(x)，有

h(-x)=f(-x)+g(-x)

=-f(x)+[-g(x)]

=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-h(x)

h(-x)=-h(x)，為奇函數(shù)

• 奇函數(shù)-奇函數(shù)

c(x)=f(x)-g(x)

c(-x)=f(-x)-g(-x)

=-f(x)-[-g(x)]

=-f(x)+g(x)

=-[f(x)-g(x)]

c(-x)=-c(x)，為奇函數(shù)

• 奇函數(shù)*奇函數(shù)

z(x)=f(x)*g(x)

z(-x)=f(-x)*g(-x)

=-f(x)*[-g(x)]

=f(x)*g(x)

z(x)=z(-x)，為偶函數(shù)

• 奇函數(shù)/奇函數(shù)

d(x)=f(x)/g(x)(g(x)≠0)

d(-x)=f(-x)/g(-x)

=-f(x)/[-g(x)]

=f(x)/g(x)

d(x)=d(-x)，為偶函數(shù)

• 綜上奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)

奇函數(shù)*奇函數(shù)=偶函數(shù)

奇函數(shù)/奇函數(shù)=偶函數(shù)（為分母的奇函數(shù)不等于零）

• 偶函數(shù)+偶函數(shù)

e(x)=F(x)+G(x)

e(-x)=F(-x)+G(-x)

=F(x)+G(x)

e(x)=e(-x)，為偶函數(shù)

• 偶函數(shù)-偶函數(shù)

m(x)=F(x)-G(x)

m(-x)=F(-x)-G(-x)

=F(x)-G(x)，為偶函數(shù)

• 偶函數(shù)*偶函數(shù)

n(x)=F(x)*G(x)

n(-x)=F(-x)*G(-x)

=F(x)*G(x)，為偶函數(shù)

• 偶函數(shù)/偶函數(shù)

q(x)=F(x)/G(x)，G(x)≠0

q(-x)=F(-x)/G(x)

=F(x)/G(x)，為偶函數(shù)

綜上，兩偶函數(shù)的四則運算均為偶函數(shù)

• 奇函數(shù)+偶函數(shù)

p(x)=f(x)+F(x)

p(-x)=f(-x)+F(-x)

=-f(x)+F(x)=-[f(x)-F(x)]

p(-x)≠p(x)，p(-x)≠-p(x)為非奇非偶函數(shù)

• 奇函數(shù)-偶函數(shù)

o(x)=f(x)-F(x)

o(-x)=f(-x)-F(-x)

=-f(x)-F(x)=-[f(x)+F(x)]，為非奇非偶函數(shù)

• 偶函數(shù)-奇函數(shù)

r(x)=F(x)-f(x)

r(-x)=F(-x)-f(-x)

=F(x)+f(x)，為非奇非偶函數(shù)

• 奇函數(shù)*偶函數(shù)

s(x)=f(x)*F(x)

s(-x)=f(-x)*F(-x)

=-f(x)*F(x)

s(-x)=-s(x)，為奇函數(shù)

• 奇函數(shù)/偶函數(shù)

t(x)=f(x)*F(x)，F(xiàn)(x)≠0

t(-x)=f(-x)*F(-x)

=-f(x)*F(x)

t(-x)=-t(x)，為奇函數(shù)

同理偶函數(shù)/奇函數(shù)也為奇函數(shù)