【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第四章因式分解?

§4-5二次三項式x2＋px＋q的因式分解法

【01】在乘法公式里，我們知道，形如 (x＋a)(x＋b) 的積是 x 的二次三項式，就是?

????????(x＋a)(x＋b)＝(x＋a)x＋(x＋a)b＝x2＋ax＋bx＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab? 。

【02】把上面的演算過程反過來就可以得到

????????x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋ax＋bx＋ab＝x(x＋a)＋b(x＋a)＝(x＋a)(x＋b)? 。

【03】這就告訴我們：對于最高次項的系數(shù)是 1 的二次三項式，如果它的常數(shù)項能夠分解成兩個因數(shù)，使它們的代數(shù)和恰巧等于 x 的系數(shù)，那末就可以把它分解成兩個一次因式。

????????x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)（其中p＝a＋b，q＝ab）。

例1.分解 x2＋6x＋8 的因式。

【分析】因為常數(shù)項 8 是個正數(shù)，所以把它分解成兩個因數(shù)時這兩個因數(shù)應(yīng)當(dāng)同號，又因為 x 的系數(shù)是正數(shù)，所以要把常數(shù)項分解成兩個正的因數(shù)。8 有兩種方法分解成兩個正因數(shù)：8＝1×8，這時 1＋8＝9 ≠ 6；8＝2×4，這時 2＋4＝6? 。由此可以知道，只需把 8 分解成 2×4? 。

【解】x2＋6x＋8＝x2＋(2＋4)x＋2×4＝x2＋2x＋4x＋2×4＝x(x＋2)＋4(x＋2)＝(x＋2)(x＋4)? 。

【注】在實際解題時，我們可以把上面演算中的中間步驟省去，直接寫出結(jié)果，就是x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)? 。

【04】這個例子告訴我們，二次三項式 x2＋px＋q 中如果 p 和 q 都是正數(shù)，應(yīng)當(dāng)把 q 分解成兩個正因數(shù)。

例2.分解因式：(1) x2＋7x＋12；(2) x2＋12x＋20? 。

【解】

(1) ∵ 12＝3×4，而 3＋4＝7，∴ x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)? 。

(2) ∵ 20＝2×10，而 2＋10＝12，∴?x2＋12x＋20＝(x＋2)(x＋10)? 。

例3.分解因式：x2－8＋15? 。

【分析】這里常數(shù)項是正數(shù)，但是一次項的系數(shù)是負數(shù)，所以要把常數(shù)項拆成兩個負數(shù)的積，才能使它們的和等于一個負數(shù)。因為 15＝(－3)(－5) 而 (－3)＋(－5)＝－8，所以令 a＝－3，b＝－5 就可以分解因式。

【解】x2－8＋15＝x2＋[(－3)＋（－5)]x＋(－3)(－5)＝[x＋(－3)][x＋(－5)]＝(x－3)(x－5)? 。

【05】這個例子告訴我們，二次三項式 x2＋px＋q 中，如果 p 是負數(shù)，q 是正數(shù)，應(yīng)當(dāng)把 q 分解成兩個負的因數(shù)。??

例4.分解因式：(1) x2－31x＋30；(2) x2－8x＋12? 。

【解】

(1) ∵ 30＝(－1)(－30)，而 (－1)＋(－30)＝－31，∴ x2－31x＋30＝(x－1)(x－30)? 。

(2) ∵ 12＝(－2)(－6)，而 (－2)＋(－6)＝－8，∴ x2－8x＋12＝(x－2)(x－6)? 。

例5.分解因式：x2y2＋3xy＋2? 。

【分析】把原式寫成 (xy)2＋3(xy)＋2，就看出它可用上面的方法來分解因式。

【解】∵ 2＝1×2，而 1＋2＝3，∴ x2y2＋3xy＋2＝(xy＋1)(xy＋2)? 。

例6.分解因式：x2－19xy＋90y2? 。

【分析】這個三項式中，每一項都是關(guān)于字母 x 和 y 的二次項，并且它是按照 x 的降冪順序同時又是按照 y 的升冪順序排列著的.。它也可以仿照例1的解法來分解因式。

【解】

∵ 90＝(－9)(－10)，而 (－9)＋(－10)＝－19，

∴ x2－19xy＋90y2＝x2－9xy－10xy＋90y2＝x(x－9y)－10y(x－9y)＝(x－9y)(x－10y)? 。

【注1】這種三項式，叫做 x，y 的二次齊次三項式。熟練以后，也可以省去中間步驟，直接寫出結(jié)果，但是要注意分解得到的兩個一次因式，每一項中都要含有字母。

【注2】也可以把原式看成 x2－19xy＋90y2，于是現(xiàn)在要找 a,b，使得 ab＝90y2，a＋b＝－19y? 。從后一式看出，a,b 一定是同類項，因此只要確定它們的系數(shù)就可以了。

習(xí)題4-5(1)

分解下列因式(1~16)：

分解下列因式，到不能再分解為止(17~20)：

【答案】

例7.分解因式：x2－3x－10? 。

【分析】這里常數(shù)項是負數(shù)，把它分解成兩個因數(shù)時這兩個因數(shù)應(yīng)當(dāng)有相反的符號.但是 x 的系數(shù)是負數(shù)，所以這兩個因數(shù)中，負的因數(shù)的絕對值應(yīng)較大。

【解】∵ －10＝(－5)×2 而 (－5)＋2＝－3，∴ x2－3x－10＝[x＋(－5)](x＋2)＝(x－5)(x＋2)? 。

例8.分解因式：a2＋9a－10? 。

【分析】這里常數(shù)項是負數(shù)，a 的系數(shù)是正數(shù)，因此要把 －10 分解成符號相反的兩個因數(shù)，并且正的因數(shù)的絕對值應(yīng)較大。

【解】∵－10＝(－1)×10，而－1＋10＝9，∴ a2＋9a－10＝[a＋(－1)](a＋10)＝(a－1)(a＋10)? 。

【06】例7和例8告訴我們，如果二次三項式?x2＋px＋q?中 q 是負數(shù)，那末 q 的兩個因數(shù)應(yīng)該一正一負，并且，當(dāng)

????????p 是正數(shù)時，正的因數(shù)的絕對值要較大；

????????p 是負數(shù)時，負的因數(shù)的絕對值要較大? 。

例9.分解 a?－21a2－100 的因式。

【分析】把原式寫成 (a2)2－21(a2)－100，它仍舊是二次三項式的形式，所以可用上面的方法，只是要把原來的 x 代換成 a2? 。

【解】∵ －100＝(－25)×4，而 (－25)＋4＝－21，∴ a?－21a2－100＝(a2－25)(a2＋4)＝(a－5)(a＋5)(a2＋4)? 。

【注意】a2－25 還能分解因式，要再分下去。

例10.分解 a3－5a2b－300ab2 的因式。

【分析】先把公因式 a 提出，得另一因式是 a2－5ab－300b2? 。這里－300＝(－20)×15，而(－20）＋15＝－5? 。它可以用二次三項式的因式分解法來分解。

【解】a3－5a2b－300ab2＝a(a2－5ab－300b2)＝a(a－20b)(a＋15b)? 。

【注意】在每一括號的第二項中，不要忘掉寫字母 b。

習(xí)題4-5(2)

分解因式：

【答案】