就如標(biāo)題一樣，我在寫各種內(nèi)容的時(shí)候發(fā)現(xiàn)不講一下微積分真的講不下去，這里就簡(jiǎn)單過一下微積分的概念和定義，如果各位有興趣的話可以在站內(nèi)搜索類似于“初中生也能聽懂的微積分”，“ 十五分鐘講完微積分”之類的視頻，筆者也不是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，就不過多獻(xiàn)丑了。

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微積分（calculus），這個(gè)詞根來(lái)源于拉丁語(yǔ)calx，本意是小石頭，類似的還有單詞calcium（元素鈣，也是個(gè)經(jīng)常可以在石頭里找到的元素），而這個(gè)單詞也可以指你身體里產(chǎn)生的小石頭，不管是你牙齒上的細(xì)菌代謝產(chǎn)物牙菌斑，還是在你的腎里結(jié)晶出的結(jié)石，也是calculus這個(gè)單詞（值得一提的是，微積分的兩位獨(dú)立的父親，牛頓和萊布尼茨，生前都患有calculus，分別是膀胱和腎臟）。正如它的名字來(lái)源，小石子便是微積分的指導(dǎo)思想。這個(gè)小石子就是無(wú)窮小。無(wú)窮小是一個(gè)概念而不是一個(gè)具體的量，就比如點(diǎn)的長(zhǎng)度是無(wú)窮小，那點(diǎn)的長(zhǎng)度到底是多少？是無(wú)窮小。那能不能說(shuō)點(diǎn)的長(zhǎng)度是0？不能，因?yàn)辄c(diǎn)的長(zhǎng)度是無(wú)窮小。那兩個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度拼在一起是不是兩倍無(wú)窮??？還是無(wú)窮小。那一萬(wàn)個(gè)點(diǎn)在一起是不就不是無(wú)窮小了？它還是無(wú)窮小。那多少個(gè)無(wú)窮小才不是無(wú)窮小呢？無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小才不是無(wú)窮小。那如果無(wú)窮小個(gè)無(wú)窮小和無(wú)窮小誰(shuí)更小？它們是一樣的，但是無(wú)窮小個(gè)無(wú)窮小比無(wú)窮小變小的速度更快。

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所以看出來(lái)了嗎，無(wú)窮小其實(shí)是個(gè)非常耍流氓的概念，而積分就是讓一堆無(wú)窮小從它耍流氓的領(lǐng)域里拽出來(lái)，讓它們老老實(shí)實(shí)和現(xiàn)實(shí)世界交互的手段（當(dāng)然這是當(dāng)年牛爵爺時(shí)代的事情，把無(wú)窮小和積分搞得正常一點(diǎn)還要再等兩百年后的勒貝格出手，不過筆者不是學(xué)數(shù)學(xué)的，對(duì)于絕大部分工程應(yīng)用來(lái)說(shuō)牛頓和萊布尼茨的成果就已經(jīng)夠用了，這里就不展開了）。

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舉個(gè)直觀例子：

下面這個(gè)函數(shù)描述了一個(gè)物體移動(dòng)速度隨時(shí)間的變化：

可以從圖像中讀出，這個(gè)物體以3米每秒的速度前進(jìn)了10秒，總移動(dòng)距離就是

這個(gè)關(guān)系在圖像上就表示為線段下方的面積：

那么對(duì)于速度隨著時(shí)間線性增大的物體，其移動(dòng)距離也是一樣的求法：

如果想要用積分的思路求得這個(gè)物體的總共的移動(dòng)距離，那么問題就是這樣的：

從圖像可知速度與時(shí)間的關(guān)系是

以更數(shù)學(xué)的表達(dá)方式來(lái)寫的話，就是：

這個(gè)等式表示了對(duì)于隨時(shí)間變化的速度v來(lái)說(shuō)，它的數(shù)值等于t。

我們也知道移動(dòng)距離與速度和時(shí)間的關(guān)系是：

對(duì)于三角形的面積，這里使用小長(zhǎng)方形來(lái)進(jìn)行趨近：

那么對(duì)于這種思考方式來(lái)說(shuō)，這個(gè)三角性的面積就等于：

而每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都等于高（速度v）乘寬（時(shí)間t），長(zhǎng)方形的高是v，而v=t，所以長(zhǎng)方形的高就可以寫成t，當(dāng)然你應(yīng)該可以一眼看出用這兩個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算三角形面積的問題——誤差太大了，這兩個(gè)面積的和明顯比三角形的面積大。

這個(gè)誤差可以通過減小長(zhǎng)方形的寬來(lái)解決。

可以看出隨著小長(zhǎng)方形們的寬度逐漸變小，誤差也越來(lái)越小，直到與原函數(shù)一摸一樣。

這就到無(wú)窮小量出手的時(shí)候了，我們直接假設(shè)小長(zhǎng)方形們的寬無(wú)窮小，一般使用d來(lái)表示無(wú)窮小量，d也被叫作微分算子，微分概念后文會(huì)講。

所以小長(zhǎng)方形的寬是dt，而高是t，一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積就可以寫作：

而積分符號(hào)∫來(lái)源自單詞sum的首字母s，表示求和，對(duì)這個(gè)運(yùn)動(dòng)的距離就寫作：

而運(yùn)動(dòng)從第零秒持續(xù)到第十秒，零和十便是這個(gè)積分的上下限：

這張圖囊括了大部分常見函數(shù)的積分：

至于是怎么來(lái)的后面微分部分會(huì)講。

當(dāng)然有的同學(xué)會(huì)說(shuō)這不是純純沒事找事，三角形面積直接底乘高除二就行了，這么麻煩干什么。這是因?yàn)榉e分一開始是用來(lái)找曲線所圍的面積的。

比如：

對(duì)于這個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，如何求它第一個(gè)正半周期的所圍的面積呢？

當(dāng)然你可以選擇使用一種比較阿基米德的辦法，用三角形填滿這一個(gè)圓弧。

阿基米德在當(dāng)年發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意圓弧都可以用這種方法使用相似三角形填滿圓弧內(nèi)的面積，使用這種方法可以很簡(jiǎn)單（并不）地求出sin（x）函數(shù)第一個(gè)正半周期的面積：

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其中a是sin（x）的振幅。

對(duì)于一個(gè)sin（x）還好說(shuō)，那么下面這個(gè)呢？

如果你對(duì)傅里葉有所了解的話，一眼就能看出（并不）這個(gè)函數(shù)其實(shí)是：

那么你只需要把這個(gè)圖形畫出來(lái)，算出每個(gè)分量的面積，并搞清楚是加起來(lái)還是減掉就可以不使用積分很輕松地算出它的面積了。

當(dāng)然你也可以對(duì)自己好一點(diǎn)選擇用積分求出它從弧度0到的面積：

對(duì)了，必須要提的是，積分算出來(lái)的面積是有正負(fù)的，x軸上下的面積是會(huì)抵消的。

積分概念到這里就差不多說(shuō)清楚了，一句話總結(jié)就是積分是把一大坨復(fù)雜的東西拆成簡(jiǎn)單的一堆小塊塊再拼起來(lái)的思路，至于很多計(jì)算方面的細(xì)節(jié)是熟悉的人不想再聽一遍，不熟悉的人講了也只是一頭霧水，這里就略過了。然后積分還有各種神奇的變種，比如：

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下面來(lái)到微分。

可能大家很好奇既然叫微積分為什么不從微分先講起，其實(shí)是因?yàn)榉e分這個(gè)概念比微分先出現(xiàn)。但神奇的是積分公式又是從微分公式推出來(lái)的，某種意義上達(dá)成了奇怪的循環(huán)論證。與積分這個(gè)將一堆小石子堆在一起的概念相反，微分則是從整體中摳出每一個(gè)小石子。

回到上面的那個(gè)三角形：

我們可以看到速度是隨時(shí)間變化的，而速度變化的程度與時(shí)間又是什么關(guān)系呢？

取一段時(shí)間，和這段時(shí)間內(nèi)速度的變化，這個(gè)關(guān)系可以寫成：

可能大家對(duì)斜率這個(gè)名字更加熟悉，其實(shí)兩個(gè)概念是差不多的。對(duì)一個(gè)函數(shù)微分得到這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也就是斜率。

當(dāng)這個(gè)時(shí)間變化（delta t)接近無(wú)窮小的時(shí)候，就出現(xiàn)了微分公式：

Lim表示極限，向右的箭頭表示趨近于，0是趨近的值，所以?表示當(dāng)趨近于零（也就是無(wú)窮小的時(shí)候），這個(gè)式子值是多少。當(dāng)然上面那一大堆就是微分公式，如果使用f（x）來(lái)表示任意連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的話，微分公式就是：

只要代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)就可以求得該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在經(jīng)過這一系列運(yùn)算之后得到的式子就是這個(gè)函數(shù)的積分表達(dá)式，當(dāng)然也不一定每次得到的都是一個(gè)常數(shù)，比如函數(shù)y = x2它的導(dǎo)數(shù)2x就帶著一個(gè)未知量x。這是因?yàn)閷?duì)于這個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，它的斜率隨著x的數(shù)值變化而變化，只有代入具體的x數(shù)值才可以知道這個(gè)函數(shù)在具體的點(diǎn)上的斜率。

當(dāng)然可能還有人聽說(shuō)過可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)之類的話，這是因?yàn)槲⒎止绞怯袘?yīng)用界限的，比如下面這個(gè)階躍函數(shù)：

這個(gè)函數(shù)在x=0這個(gè)點(diǎn)分成了兩段，讓其成為了一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)，因此這個(gè)函數(shù)就無(wú)法直接套用微分公式。相同的，積分公式也只能應(yīng)用在連續(xù)的函數(shù)上。當(dāng)然也不是只要是連續(xù)函數(shù)就可以導(dǎo)或者積，比如下面這個(gè)函數(shù)雖然連續(xù)，但在x=0這個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)：

上面是一些常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

如同上文介紹的一樣，積分是把一個(gè)個(gè)小石頭組合起來(lái)，而微分是把每塊小石頭從整體之中扣出來(lái)，這兩者互為對(duì)方的逆運(yùn)算，就如同加和減，乘和除一樣，所以對(duì)于y=x^n來(lái)說(shuō)，它的積分就是：

C表示一個(gè)常數(shù)，因?yàn)槲⒎謺r(shí)常數(shù)都會(huì)被消除掉，比如：

將得到的導(dǎo)數(shù)積回去：

這里我們知道c=b，C其實(shí)算一個(gè)補(bǔ)丁，將積分計(jì)算變得更完備。

照例來(lái)點(diǎn)小例題：