把某個數(shù)學(xué)up動態(tài)底下我的回復(fù)總結(jié)一下,寫個專欄.我就假定是閱讀這篇文章的讀者對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)感興趣吧,我的這些例子也比較基礎(chǔ)數(shù)學(xué).
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的學(xué)習 主要有兩種人,我們以建造房子為喻,一種人是建土房子,他們從地基開始一層層向上建,或許建好后也很不錯,但是慢并且循序漸進的,不能跳過一層去建二層

第二種是建大廈.建大廈是這樣的,在打好地基之后,會建造出整體的框架.建造速度非?？?幾個星期就建完一整層.當框架建完之后,對哪一層感興趣就去精裝哪一層,很可能第一層沒有土房子第一層精美,但是想去哪層就去哪層,很可能數(shù)學(xué)分析沒有讀透,實變函數(shù)就可以學(xué)完. 并且大廈非常高非常快,這是土房子所不能比的.

談一些對如何框架大廈的基本結(jié)果,以電腦為喻吧
1.首先要有電腦(集合),然后在上面有軟件(結(jié)構(gòu)),怎么玩軟件(研究對象),軟件允許的操作(運算,推理),把握了這些就把握了對象的框架.線代/高代只是用不同的操作,研究相同的軟件.有些課會升級軟件,比如為了研究積分,引入實變.相當于軟件升級,功能的更新.
2.有些軟件同時運行會死機,為什么?有些軟件同時運行會更好,比如看小說+聽音樂.某個軟件運行的最低配置是什么.

3.一個電腦,基本的問題是,能否安裝軟件,能否安裝指定的軟件,如何安裝軟件,引入哪些操作
4.這些軟件就是模塊化的力量.比如給一個新空間,當你知道,這上面有內(nèi)積結(jié)構(gòu)/度量結(jié)構(gòu)/序結(jié)構(gòu)/賦范線性結(jié)構(gòu),你就會把之前的東西完全的移植過來,實際上沒有新知識的出現(xiàn)和吸收.

4.遇到陌生的集合,能不能通過映射,在保持相當結(jié)構(gòu)的前提下,拉回到已知的空間中研究?順著這個思路,自然的出現(xiàn)雙射,反函數(shù),同構(gòu)同態(tài)同胚同倫同調(diào).向深處走就出現(xiàn)了范疇論.

再以數(shù)分為例子,數(shù)分依賴R^n,以極限為手段研究函數(shù)的宏觀/中觀/微觀現(xiàn)象.以1:1研究Δf,就是連續(xù)性.以Δx:1研究Δf,就是Δf/Δx,可微性.以1:Δx研究Δf,就是Δx|Δf|可積性.

總的來說,數(shù)學(xué)系的特點就是給一個嶄新的電腦,系統(tǒng)/軟件都自己安裝甚至自己編寫.別的系是給一個標準電腦,系統(tǒng)軟件都寫好了,會用就行.這也容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)系未必基礎(chǔ)軟件用的比工科溜.

最后的針對所謂考研歧視的.我只講這一種情況,就是很多雙非/跨考的人,覺得學(xué)校歧視自己,一個面試/口試,就給掛了.但我以為很可能是只學(xué)會了應(yīng)試,過于缺乏綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng). 以年齡/性別為理由當然是真的歧視,不在我下述之類.

這種事不好說,主要是數(shù)學(xué)注重綜合素養(yǎng).
舉幾個例子吧
1.四五條實數(shù)系定理的等價性背的滾瓜爛熟,不知道怎么從Q出發(fā)構(gòu)造R.
2.復(fù)變考的高,不知道多值函數(shù)怎么來,怎么取分支,不知道復(fù)數(shù)域是怎么構(gòu)造的
3.實變考的高,不知道怎么從積分出發(fā)構(gòu)造測度,不知道測度和函數(shù)的關(guān)系,不知道哪些測度不依賴拓撲,哪些測度依賴拓撲,乘積空間上的測度是怎么從底空間測度構(gòu)造得到的
4.數(shù)分考的高,不知道連續(xù),微分依賴什么樣的空間結(jié)構(gòu),覺得常值函數(shù)總是連續(xù)甚至連續(xù)可微的.
這些問題書上是很難自學(xué)到的,考試也測不出來,但好的學(xué)?；径紩n上教授,就難辦 我這還是假定了標準的書學(xué)過的情況下,很多時候,連課本都未必過的完.

我舉得例子主要是分析,還沒怎么涉及代數(shù)/分析/幾何三者的交匯融合. 一交匯,就更難處理.
問個全純函數(shù)環(huán)上各種理想的結(jié)構(gòu),就更能打翻一大片((
這樣一出來,難免有考生覺得,這問的書上都沒有,是不是故意刁難,歧視我,就難辦

尤其是 這些是書上沒有的一些基礎(chǔ)性,結(jié)構(gòu)性的問題.不知道依賴的對象/關(guān)心的問題,是做不了嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)工作的.導(dǎo)致一些人覺得筆試都很高,被這些莫名其妙的問題一搞,就被反超了.
但其實沒道理的,數(shù)分學(xué)完,不知道連續(xù),微分在什么情況才有定義,實變學(xué)完,不知道乘積空間上有沒有測度就用fubini定理,不知道測度和積分和函數(shù)的基本關(guān)系,不知道哪種拓撲有好的積分,人家導(dǎo)師干嘛要你一個只會做題的人,而不要一個學(xué)科框架搭好,只是做題比你稍差一點的人呢?