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圖片來源｜網絡

1．審題千萬不能馬虎

2．「不完全相同」的準確含義

3．需要去套「排列組合公式」嗎？

4．選項較小，要采取簡明的解法

5．包含多種速算技巧的難題

6．理解「河水流速」的關鍵

7．人性化的題目，坑也很多

8．將常用公式「舉一反三」融會貫通

9．簡單的題，兩個干擾點

10．不會使用「直角坐標系」怎么辦？

一、審題千萬不能馬虎

【2021年3月聯考】小明去某樓盤售樓部咨詢售房情況。置業(yè)顧問告訴他，如果再賣出50套，則已賣出的數量與未賣出數量相等；如果再賣出150套，則已賣出的數量比未賣出的數量多一半。

該樓盤目前還剩下多少套房子未賣出？
（A）350套
（B）450套
（C）550套
（D）650套

該樓盤目前還剩下多少套房子未賣出？
（A）350套
（B）450套
（C）550套
（D）650套

正確率47%，易錯項B

以小明咨詢時的情況為基準，列出題干數據關系：

①已賣出+50=未賣出-50
②已賣出+150=（未賣出-150）×150%
③求小明咨詢時還剩下多少套房子未賣出

根據①可知「未賣出」=「已賣出」+100，將其代入②，得：

已賣出+150=（已賣出+100-150）×150%
→已賣出+150=（已賣出-50）×1.5
→已賣出+150=1.5已賣出-75
→225=0.5已賣出
→已賣出=450，未賣出=450+100=550，C選項「550」正確。

本題計算基本沒有難度，從易錯項B來看，難點主要在于對題干敘述的注意力上。

現實中肯定沒有售樓人員會這么跟咨詢者這么猜謎，因此在看到這種脫離實際的題目時，考生一定會優(yōu)先把目光聚焦在「已賣出」「未賣出」這兩個數據上，因此在解出「已賣出=450」這個數據后，就可能直接隨手選了B「450套」，而忽略了問題要求的是「未賣出」。

本題陷阱很簡單，但一半以上考生做錯了，可見審題千萬不能馬虎。

二、「不完全相同」的準確含義

【2021年3月聯考】不超過100名的小朋友站成一列。如果從第一人開始依次按1，2，3，...，9的順序循環(huán)報數，最后一名小朋友報的是7；如果按1，2，3，...，11的順序循環(huán)報數，最后一名小朋友報的是9。

一共有多少名小朋友？
（A）98
（B）97
（C）96
（D）95

一共有多少名小朋友？
（A）98
（B）97
（C）96
（D）95

正確率60%，易錯項C

列出題干數據關系：

①不超過100名小朋友站成一列
②1~9循環(huán)最后報7
③1~11循環(huán)最后報9
④求一共有多少名小朋友

送分題。根據4個選項「95~98」均接近100和11×9=99的特點，直接通過③代入即可確定小朋友報數循環(huán)了8次。具體解析情況如下。

設共循環(huán)n次，得：
11×n+9=95~98

由于11×9=99，可確定n必然為8，小朋友總數=11×8+9=97。

根據②驗算，得97÷9=10余7，符合條件，正確。

本題亦可使用代入法解析，注意無論使用「代入法」還是結合100以內乘除法的特點分析，都要優(yōu)先考慮「1~11循環(huán)」，因為100以內11的乘法更加簡單。

三、需要去套「排列組合公式」嗎？

【2021年3月聯考】隨著人們生活水平的提高，汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。某地級市交通管理部門出臺了一種小型汽車牌照組成辦法，每個汽車牌照后五位的要求必須是：前三位為阿拉伯數字，后兩位為兩個不重復的英文字母（除O、I外）。

這種方法可以給該地區(qū)汽車上牌照的數量為：
（A）397440輛
（B）402400輛
（C）552000輛
（D）576000輛

這種方法可以給該地區(qū)汽車上牌照的數量為：
（A）397440輛
（B）402400輛
（C）552000輛
（D）576000輛

正確率55%，易錯項B

列出題干數據關系：

①前三位為阿拉伯數字
②后兩位為兩個不重復的英文字母（除O、I外）
③求總的組合數量

根據①可知，前三位的總組合數量為「000」到「999」共1000種。

根據②可知，英文字母共26個，去掉2個，還有24個。由于不能重復，那么以A開頭時共有除A之外的23種組合，以B、C、D……開頭時也為23種，因此后三位總組合數量為：

24×23=552

結合①②可知，能夠上牌的組合數量為：

1000×552=552000，C「552000輛」正確。

本題難度不高，但有將近一半的考生做錯，原因主要在于對「排列組合」太過敬畏，但這道題事實上基本和「排列組合」無關。

從結果不難看出，車牌前后部分順序固定（前三位阿拉伯數字，后兩位為除了O、I之外的英文字母）；前半部分根據000~999的編號可直接確定結果為1000；后半部分根據英文不能重復的特點嘗試代入A、B兩個字母即可判定結果應為24×23——因此結果就是1000×24×23。

一定要先讀題再解析，不要看到類似「組合方式」的表述就立即去套「排列組合公式」。

四、選項較小，要采取簡明的解法

【2021年3月聯考】某高校開設A類選修課四門，B類選修課三門，小劉從中選取四門課程，若要求兩類課程各至少選一門，則選法有：
（A）18種
（B）22種
（C）26種
（D）34種

某高校開設A類選修課四門，B類選修課三門，小劉從中選取四門課程，若要求兩類課程各至少選一門，則選法有：
（A）18種
（B）22種
（C）26種
（D）34種

正確率29%，易錯項C

列出題干數據關系：
①A類選修課四門，B類選修課三門
②選取四門課程，兩類課程各至少選一門
③求總的可能選法

本題4個選項數據都很小，可根據「兩類課程各至少選一門」的限制，將A類選修課數量從少到多分類，共有「A1B3」「A2B2」「A3B1」3種選法，逐一分析。

「A1B3」類選法：

A類「4選1」，共4種
B類只能全選，共1種
共有4×1=4種

「A2B2」類選法：

A類為「4選2」=C（4，2）=6種
B類為「3選2」=C（3，2）=3種
共有6×3=18種

「A3B1」類選法：

A類為「4選3」C（4，3）=4種
B類為「3選1」共3種
共有4×3=12種

三者相加，共有4+18+12=34種選法，D「34」正確。

這道題一定要分類解析，否則很容易犯迷糊。

從不到30%的正確率來看，這道題的難度似乎相當高，但事實并非如此。雖然強行套公式難度很高，但根據選項可知選法最多不會超過34之間，這個數值已經非常小了，因此不要優(yōu)先考慮套公式，簡單「數數」反而可能更合適。遇到數值較小的「排列組合」類題目時，盡量把全部類別列出后逐個去數。

五、包含多種速算技巧的難題

【2021年3月聯考】某商場為了促銷，進行擲飛鏢游戲。每位參與人員投擲一次，假設擲出的飛鏢均扎在飛鏢板上且位置完全隨機，扎中中間陰影部分區(qū)域（含邊線）即為中獎。該商場預設中獎概率約為60%。

僅考慮中獎概率的前提下，以下四幅圖形（圖中的正三角形和正方形均與圓外切或內接）最適合作為飛鏢板的是：

僅考慮中獎概率的前提下，以下四幅圖形（圖中的正三角形和正方形均與圓外切或內接）最適合作為飛鏢板的是：

（A）圖形A
（B）圖形B
（C）圖形C
（D）圖形D

正確率42%，易錯項C

根據題干可知，當陰影部分區(qū)域占總區(qū)域最接近60%時符合要求。直接計算：

A選項：

設圓形的半徑R（即等邊三角形中心到頂點的距離）=2，則根據勾股定理和等邊三角形的特征可知：

等邊三角形中心到底的距離=1
等邊三角形的高=2+1=3
等邊三角形底的一半=√（22-12）=√3

陰影等邊三角形面積=底×高÷2=底的一半×高=3√3
圓形面積=πR2≈3.14×4

陰影等邊三角形面積︰總面積
=3√3︰3.14×4
≈3×1.73︰3.14×4

兩邊都約去3，得結果為1.73︰4+。根據「4×40%=1.6」可知，陰影占比在40%左右。

B選項：

設陰影圓形的半徑r=1，根據等邊三角形的特征可知：

等邊三角形中心到頂點的距離=2
等邊三角形的高=2+1=3
等邊三角形底的一半=√（22-12）=√3

陰影圓形面積=πr2≈3.14
三角形面積=底×高÷2=底的一半×高=3√3

陰影圓形面積︰總面積
=3.14︰3√3

根據60%=3/5可知，比號左側3.14略大于3，比號右側3√3≈3×1.73≈5.2略大于5，且比號左側數值小，增加值（0.14）也比比號右側（0.2）略小，因此B選項結果與60%非常接近。

此時不需要精細計算，繼續(xù)分析C選項：

設圓形的半徑R（即正方形對角線的一半）=1，則根據勾股定理可知正方形邊長=√（12+12）=√2，即：

圓形面積=πR2≈3.14
陰影正方形面積=邊長2=（√2）2=2

陰影正方形面積︰總面積
=2︰3.14

快速心算可知：
2÷2/3（即66.7%）=3
2÷60%=3.33

3.14差不多在3和3.33中間，可據此推測：

2︰3.14的結果在60%和66.7%中間，大約為63%~64%。因此C選項不如B選項更接近60%，排除。

D選項可以直接和C選項對比分析：

從視覺觀感中就可以確定其陰影面積占比高于C，直接排除即可。

當然也可以驗算。設D中陰影圓形半徑為1，則面積為3.14；此時正方形邊長為2，面積為4。3.14÷4＞3÷4=75%，排除。

綜合分析本題B選項陰影面積占比最接近60%，應選。

本題條件簡單，目的明確，最大的難點就在于快速確定4個選項的具體數值。

從結果來看，BC兩個選項都接近60%，因此如果單純從視覺觀感來判定是比較難的，必須想辦法快速計算，因此誰能夠熟練掌握各種速算技巧（例如根據情況設圓的半徑，快速計算三角函數，估算開方估算√2、√3等開方數等），誰就能又快又準地解對這道題。

注意本題BC兩個選項的估算技巧，對于提升解題效率非常有用。

六、理解「河水流速」的關鍵

【2021年3月聯考】大江兩岸有兩個正面相對的碼頭，可供客輪往返。如下圖所示，根據河流水文情況，「幸福號」客輪星期一沿著河岸60度夾角方向前行，剛好到達對岸碼頭，星期二「幸福號」準備返回時，發(fā)現河流水文情況發(fā)生變化，船長調整航向，沿河岸30度夾角方向返回，順利到達碼頭。

假設客輪往返速度均是v千米/小時，且行駛過程中河水流速是恒定的，問返程時河水流速是去程時的多少倍：
（A）√3
（B）√3/3
（C）1/2
（D）2

假設客輪往返速度均是v千米/小時，且行駛過程中河水流速是恒定的，問返程時河水流速是去程時的多少倍：
（A）√3
（B）√3/3
（C）1/2
（D）2

正確率39%，易錯項BCD

本題題干特別長，且敘述起來很羅嗦，導致大部分考生沒有做對，其實題目本身特別簡單。

首先分析出發(fā)時的情況：

出發(fā)碼頭為A，對面碼頭為D，若河水靜止時到達點為B，由B向A側河岸作垂線相交于C，得直角三角形ACB。

不難發(fā)現，如果河水靜止，則客輪到達B；而客輪實際到達D，說明航行途中流水推動的距離=DB=CA。

同理分析返程時的情況：

根據上述分析同理可推出，客輪返程時若河水靜止則到達C'，因此實際上流水推動的距離為C'A=B'D。

根據30°和60°三角函數的特點，可設「去時流水路程」=AC=1，則：

去時路程=AB=2
回時路程=C'D=2√3
BC=B'C'=√3

「回時流水路程」
=B'D=√（2√3）2-√32
=√（12-3）
=√9=3

即：

回時流水路程︰去時流水路程=3︰1

船速固定，且回時路程︰去時路程=2√3︰2=√3︰1，「時間」與「路程」呈正比，得：

回時時間︰去時時間=√3︰1

可得「回時速度」︰「去時速度」
=回時流水路程/回時時間︰去時流水路程/去時時間
=3÷√3︰1×1
=√3，A選項「√3」正確。

這道題的核心是作圖。當延長兩條船與河岸夾角的航線，并意識到「流水推動的船的路程，等于假設河水靜止時直角邊的長度」后，再根據三角函數的特點設值，這道題就能輕而易舉地解出了。

注意速度不變，時間和路程呈正比，找到好的角度設值即可快速解出。

七、人性化的題目，坑也很多

【2021年3月聯考】一個不計厚度的圓柱型無蓋透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周長為24分米，AB為底面直徑。

在塑料桶內壁桶底的B處有一只蚊子，此時，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A處，則壁虎從外壁A處爬到內壁B處吃到蚊子所爬過的最短路徑長約為：
（A）10.00分米
（B）12.25分米
（C）12.64分米
（D）13.00分米

在塑料桶內壁桶底的B處有一只蚊子，此時，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A處，則壁虎從外壁A處爬到內壁B處吃到蚊子所爬過的最短路徑長約為：
（A）10.00分米
（B）12.25分米
（C）12.64分米
（D）13.00分米

正確率45%，易錯項BD

題干給出了連接AB的虛線，也給出了在圓柱頂面且位于AB之間的C點，其實是在明示考生優(yōu)先考慮這兩條路線，還是比較人性化的。

由于圓柱桶底封閉，不難看出壁虎想要「進桶」，就必須經過桶頂。那么想要經過桶頂且距離較短，只能優(yōu)先考慮題干標注的兩條路線：

第一種：從桶外A點直上到桶頂A'再回到桶底A（不計厚度），然后沿AB虛線到達B點，如圖：

桶高h=2.5分米，則壁虎從A→A'再返回A共爬了5分米。

底面周長24分米，根據πd=周長可知：

d=24÷π
=24÷3.14

使用「乘法反推」，根據3.14×7≈22和3.14×8≈25可粗略估計，24÷3.14比7.5大一些，因此通過第一種路線所爬過的路徑約為：

5+（7.5+）分米。

正好C選項有「12.64分米」這個非常接近的答案，符合條件。

第二種：從桶外A點斜上到桶頂C再回到桶底B，如圖：

為使路線最短，則AC=AB。

也就是說，將圓柱體側面展開，△ACB為等腰三角形，此時AB=1/2周長=12分米，C到AB的高=h=2.5分米，如圖：

由C點向AB作高，可得AD=BD=6分米，此時要求的就是一個簡單的勾股定理計算。

壁虎爬行的距離
=AC+CB
=2AC
=2〔√（62+2.52）〕
=2〔√（122+52）〕÷2
=√（144+25）
=√169=13分米，對應D選項。

也可以直接延長AC然后在延長線向B點作垂線，此時新形成的大直角三角形的斜邊就是2AC，計算結果是相同的。

由于12.64＜13，因此C選項「12.64分米」為正確答案，應選。

本題在題干中直接給出了潛在正確答案，較為人性化，但計算還是比較復雜的。

題干中有幾個較為容易出錯的地方：

一是第一種方案計算24÷3.14時，這是個三位數的除法，較為復雜，硬算較為花時間。熟悉「資料分析」公式的小伙伴會立即發(fā)現14×7≈100這個特點，通過「乘法反推」可快速鎖定正確答案范圍。

二是第二種方案計算式忘了將AB「展開」，誤以為AB的距離還是直徑d。

三是對「√（62+2.52）」這個計算不會化簡。其實，這種平方后加減再開方的公式在勾股定理類題目中經常出現，根號里面乘以多少，根號外面除回來就可以了，讓式子簡明是最重要的。

這道題題干簡單但計算過程有很多坑，考生提升自身的計算能力非常重要。

八、將常用公式「舉一反三」融會貫通

【2021年3月聯考】如下圖1所示，在一個金字塔造型（底面為正方形，側面為四個全等的等腰三角形）的鑄造件內部挖空一個圓柱?，F沿鑄造件頂點A且垂直底面的方向切開，切開后的截面如下圖2所示：

已知DE、GF為圓柱的高，BC=4√2分米，DE=2分米，AO=4分米，那么挖后鑄造件的體積是：
（A）128－4π立方分米
（B）128/3－4π立方分米
（C）64/3－4π立方分米
（D）64－4π立方分米

已知DE、GF為圓柱的高，BC=4√2分米，DE=2分米，AO=4分米，那么挖后鑄造件的體積是：
（A）128－4π立方分米
（B）128/3－4π立方分米
（C）64/3－4π立方分米
（D）64－4π立方分米

正確率48%，易錯項C

分析題干可知：

挖后鑄造件的體積
=挖前鑄造件的體積-挖掉的體積
=「金字塔」體積-「圓柱」體積

「金字塔」體積
=1/3×「金字塔」底面積×高
=1/3×BC2×AO
=1/3×（4√2）2×4
=1/3×32×4
=128/3

「圓柱」體積
=「圓柱」底面積×高
=π×（OE）2×DE

∵DE、AO均垂直于BO
∴△BDE與△BAO相似
∴DE︰AO=BE︰BO=2︰4

BC=4√2分米，可得：

BE=1/2BO=1/4BC=√2分米
OE+BE=BO，即OE也為√2分米

因此π×（OE）2×2
=π×（√2）2×2
=4π

可得挖后鑄造件的體積為128/3－4π，B選項「128/3－4π立方分米」正確。

本題難點在于「金字塔」體積的計算。

回顧這道題不難發(fā)現，題干條件較為簡明，計算過程也不是很復雜，但「金字塔」的體積計算公式在中學數學沒有專門學到，導致很多考生因不了解該公式而做錯。

事實上，幾何類題目的計算都是有通用規(guī)律的。以二維平面幾何來說，所有的三角形和梯形的面積計算公式都是通用的，即：

面積=（上底+下底）×高÷2

此時三角形可視為上底為0的四邊形，正方形、長方形、菱形可視為特殊梯形。

同樣，規(guī)則的三維立體圖形，都有相同的體積計算公式，即：

棱柱體／圓柱=底面積×高
棱錐／圓錐=1/3底面積×高

套用到本題中即可解出正確答案。

備考時「舉一反三」非常重要，將常用公式融會貫通才能在考場上靈活應變，找到正確的方向。

九、簡單的題，兩個干擾點

【2021年3月聯考】某裝修公司訂購了一條長為2.5m的條形不銹鋼管，要剪裁成60cm和43cm長的兩種規(guī)格長度不銹鋼管若干根，所裁鋼管的橫截面與原來一樣。

不考慮剪裁時材料的損耗，要使剩下的鋼管盡量少，此時材料的利用率為：
（A）0.998
（B）0.996
（C）0.928
（D）0.824

不考慮剪裁時材料的損耗，要使剩下的鋼管盡量少，此時材料的利用率為：
（A）0.998
（B）0.996
（C）0.928
（D）0.824

正確率51%，易錯項C

分析題干對應關系，不難發(fā)現要求的是這樣一個關系式：

設60cm和43cm長的不銹鋼管各截取了x根和y根，得：

60x+43y≤250

其中x、y為正整數，且左側結果盡量接近右側。由于關系較為明確，可直接快速代入所有可能。從較為明顯的「60×4=240」開始，逐個分析：

60×4=240（此時y=0不成立，僅作為一個參考量）
60×3+43×1＜240
60×3+43×2＞250，排除
60×2+43×3=249＞240
60×1+43×4=232＜240，排除
43×5=215＜240，排除

可發(fā)現x=2，y=3時得到的249最符合題干要求，計算得：

249÷250
=（249×4）÷1000
=99.6%，C「0.996」正確。

本題絕對難度不高，但有兩個干擾點：

一是沒有逐一列出裁剪的可能性。根據統計分析，有將近一半的考生誤選了C「0.928」，這就是把「60×1+43×4=232」列出后直接當正確答案來計算了，實際上還有更接近的選擇。

二是被「立體損耗率」所迷惑了。當計算涉及到平面、立體之后，經常會被用平方、立方的方式放大，所以有的小伙伴在解這道題會猶豫，會思考要不要給結果在平方或開方。

事實上在本題中，鋼條的體積=底面積×高，而要求的數據只涉及高，因此計算結果是多少，利用率就是多少，不需要再平方或者開方了。

本題的兩個干擾點較為常見，再遇到類似的題時要有所警惕。

十、不會使用「直角坐標系」怎么辦？

【2021年3月聯考】某公司職員小王要乘坐公司班車上班，班車到站點的時間為上午7點到8點之間，班車接人后立刻開走；小王到站點的時間為上午6點半至7點半之間。

假設班車和小王到站的概率是相等（均勻分布）的，那么小王能夠坐上班車的概率為：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

假設班車和小王到站的概率是相等（均勻分布）的，那么小王能夠坐上班車的概率為：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

正確率9%，易錯項BC

列出題干數據關系：

①班車7點~8點到車站
②小王6點半~7點半到車站
②求小王坐上車的概率

本題「班車和小王到站的概率是相等（均勻分布）」這一條件較為少見，導致很多考生沒有準確理解題干的含義。有兩種解法：

第一種：「直角坐標系」法

如果熟悉「直角坐標系」的話，直接畫坐標分析，如圖：

圖中的大正方形就是「小王所有的到達時間」和「班車所有的到達時間」的總面積（即概率之和為1），可發(fā)現：

斜線左上側「白三角形面積」=小王沒有趕上班車的情況=1/8個正方形
斜線右下「陰影三角形面積」=小王趕上班車的情況=7/8個正方形

因此小王能夠坐上班車的概率為7/8，D「7/8」正確。

第二種：列出概率直接計算

由于小王「到了車站要等班車」，一眼可看出只要小王7點之前到就一定能等到班車，7點之后到有幾率趕上班車，因此可鎖定正確答案必然超過1/2，即在B「3/4」和D「7/8」之中。

進一步分析，可確定小王趕上列車的區(qū)間至少占據3/4，而在「小王、列車都在7點至7點半到車站」的范圍內仍存在小王不遲到的情況，可確定結果比3/4大，從而鎖定D選項「7/8」正確。

雖然本題通過推理即可解出正確答案，但在備考時還是要了解其原理。如果不熟悉「直角坐標系」，可以根據下面的情況來分析：

首先根據「小王6點半至7點半到車站」和「7點之前到就一定能等到班車」，可確定小王「7點至7點半到車站的概率為1/2」。

然后根據「班車7點至8點到車站」和「7點半之后到小王一定能趕上班車」，可確定班車「7點至7點半到車站的概率為1/2」。

而「7點到7點半之間」小王和班車到達的可能性完全一致，因此在此區(qū)間小王能趕上班車的概率和趕不上班車的概率相同，也是1/2。

概率為1/2的推斷過程如下：

當小王和班車都只能在這30分到達且任意時間到達概率都相同時，可按照每分鐘的情況將其分為30份，然后：

7點時小王趕上班車幾率是0；
7點1分小王趕上班車幾率為1/30；
7點2分小王趕上班車幾率為2/30；
……
7點30分時小王趕上班車幾率為30/30。

將30個分鐘的概率一平均，可發(fā)現結果就是15/30，即1/2，即趕不上班車的概率也是1/2。

因此小王趕不上班車的概率=
「小王7點至7點半到車站的概率」×「班車王7點至7點半到車站的概率」×「在這個時間段小王趕不上班車的概率」
=1/2×1/2×1/2
=1/8

即「小王趕上班車的概率」=1-1/8=7/8，D選項正確。

通過「直角坐標系」計算概率是中考時期出題者最喜歡設置的難題之一，但在公考中較為少見。本題題干特別簡明，正確率特別低，可以看出絕大部分考生對其并不是很熟悉。建議各位小伙伴通過本題來熟悉相關內容，做到有備無患。

不會使用「直角坐標系」也要學會推理，從而鎖定D是唯一可能正確的選項。