在我們開始新的內(nèi)容之前，我們來回顧數(shù)字發(fā)展的歷史。

在第一節(jié)中，我們回顧了數(shù)字從自然數(shù)到實數(shù)的發(fā)展歷程：

然而，數(shù)字的每一次擴充都不是輕而易舉的，這啟示我們需要發(fā)明一種新方法來檢驗數(shù)字有無擴充的空間。幸運的是，數(shù)學家找到了這種方法，叫“運算封閉性檢驗”。

要理解封閉（Closure）這個概念，我們首先把全體自然數(shù)看成一個集合。

然后我們來玩?zhèn)€拼圖游戲：

我們在這個由全體自然數(shù)組成的集合（自然數(shù)集）中任取兩個元素，然后把它們加在一起，看看結(jié)果是否屬于這個集合。我們要檢驗任意兩個自然數(shù)相加后是否還是自然數(shù)。經(jīng)過嘗試，我們很容易得出兩個自然數(shù)相加后還是自然數(shù)。數(shù)學家把這種不“溢出”的性質(zhì)稱作運算的封閉性。在這個例子中，自然數(shù)集對加法封閉。

接下來，我們把加法換成減法運算。我們首先嘗試3-2，結(jié)果等于1，還是自然數(shù)。但換成2-3呢？我們的結(jié)果“溢出”了自然數(shù)集，所以自然數(shù)在減法運算上不封閉。我們需要把0和負數(shù)包含進來，這便是整數(shù)。整數(shù)對加法和減法封閉。

為了包含更多的代數(shù)運算，我們需要繼續(xù)擴大我們的數(shù)字。比如要使我們的數(shù)字對除法封閉，我們引進了分數(shù)，這便是有理數(shù)。順帶一提，有理數(shù)（Rational number）這個詞來自比率（Ratio）。比率就是兩個整數(shù)相除的結(jié)果，也就是我們常說的分數(shù)。

在這里，讓我們用韋恩圖（Venn Diagram）來表示自然數(shù)（簡寫為N）、整數(shù)（簡寫為Z）與有理數(shù)（簡寫為Q）之間的關系：有理數(shù)集包含整數(shù)集，整數(shù)集包含自然數(shù)集，用韋恩圖一目了然，它直觀地表達了“誰包含誰”的關系。

讓我們回顧一下，在有理數(shù)集中，有哪些運算是封閉的？

先說加、減、乘、除。我們很容易驗證任意兩個有理數(shù)相加、相減后仍然是有理數(shù)，類似地，兩者相乘、相除仍是有理數(shù)。所以我們說有理數(shù)對加、減、乘、除封閉。

好，我們再來考慮別的運算，比如乘方、開方運算，有理數(shù)集對乘方運算封閉嗎？

如果你讀過高中，你應該知道一個數(shù)的分式冪代表乘方運算（分子）與開方運算（分母）的組合，我在這里不再累述。熟悉分式冪的讀者不難想到2^(?)，也就是√2這樣一個例外。有興趣的讀者可以在拓展中閱讀更詳細的證明過程。

我們把這種數(shù)叫無理數(shù)（Irrational Number）。無理數(shù)中有另一種數(shù)叫超越數(shù)（Transcendental Numbers），如π和e。無理數(shù)和有理數(shù)一起組成了實數(shù)（簡寫為R）。

讓我們再用實數(shù)集玩一次拼圖游戲。是否存在一個實數(shù)，它的平方根不是實數(shù)？相信你已經(jīng)知道了我要說的這個數(shù)，他的平方根就是虛數(shù)單位：√-1。我們在實數(shù)的基礎上把虛數(shù)包含進來，這便是復數(shù)集（簡寫為C）。

最初，數(shù)學家們擔心復數(shù)集對開方運算不封閉：比如√-i。幸運的是，沒有復數(shù)不能處理的運算。事實上，把√-i轉(zhuǎn)換為極坐標形式1∠-90°。根據(jù)乘法性質(zhì)，√(1∠-90°)=1∠-45°=√2/2*(1-i)。所以√-i還是復數(shù)！復數(shù)是完備的數(shù)集。

虛數(shù)是使數(shù)字完備的最后一塊拼圖！

拓展

一、證明√2是無理數(shù)

你可能聽聞數(shù)學的三次危機。沒錯，第一次數(shù)學危機便與此有關。

今天我們用反證法來證明這明不是有理數(shù)：

假設√2是有理數(shù)，那么他可以表示為兩個整數(shù)之比，我們假設：

√2=m/n

其中m/n是最簡分數(shù)（想想看，為什么要這樣假設？）

我們把等式兩邊平方：

2=m2/n2

于是有

m2=2n2

這說明m2是偶數(shù)，那么m一定是偶數(shù)。

（因為數(shù)字的奇偶性不隨數(shù)字平方改變，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)）

因此，我們不妨設：

m=2k

把它帶入m2=2n2，得：

(2k)2=2n2

移項，得：

n2=2k2

這說明n2是偶數(shù)，那么n一定是偶數(shù)。

既然m一定是偶數(shù)，n一定是偶數(shù)，那么m/n還可繼續(xù)化簡。

（現(xiàn)在明白為什么要這樣假設了吧，我們要從“不可約”的假設中推出“可約”的矛盾）

這與假設“m/n是不可約分式”矛盾。因此√2不可以表示為兩個整數(shù)之比，√2是無理數(shù)。

二、數(shù)域概念簡介

以下內(nèi)容由譯者原創(chuàng)，不足之處請多多指正

這節(jié)內(nèi)容我們探究了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)這五種數(shù)集對加法、減法、乘法、除法、乘方、開方這六種運算的封閉性。

我們把研究的范圍縮小一點，我們研究加、減、乘、除。

有哪些數(shù)集對這四種運算封閉？根據(jù)我們今天的內(nèi)容，符合條件的只有有理數(shù)集（Q）、實數(shù)集（R）、復數(shù)集（C）。熟悉數(shù)學的朋友可能知道，這四個數(shù)集有另一個別名：有理數(shù)域、實數(shù)域、復數(shù)域。為什么數(shù)學家更喜歡用形容空間的概念詞——域（Field）來稱呼這些數(shù)集呢？

善于聯(lián)想的同學肯定有過這樣的想法，這些數(shù)集中的每一個元素如同空氣一樣連續(xù)地彌散在數(shù)軸里。就拿整數(shù)集與自然數(shù)集來說，整數(shù)集對除法不封閉，這使得整數(shù)集各元素間都有間距，比如0到1間距為1，數(shù)學家把這種性質(zhì)稱作離散性。相反的，有理數(shù)集對除法封閉，這使得各元素的間距可以無限小。古今中外不少智者用了不少鮮明的例子來說明這一點：比如芝諾的烏龜，莊子的木棍。

如果你是這么想的話，你便把住了“域”的要義。除法的封閉性確保了數(shù)集之間相鄰兩個元素的間距可以無窮小，這種性質(zhì)稱作數(shù)字的稠密性。因此我們把滿足加法，減法，乘法，除法封閉的數(shù)集稱作域。

為了拓展域的概念，我們需要更進一步的研究除法。除法，準確說乘以一個數(shù)的倒數(shù)。一個數(shù)數(shù)與它倒數(shù)相乘等于1，數(shù)學家把這個關系拓展，抽象出可逆元和單位元的概念。所以，數(shù)學家對域有更嚴格的定義。有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)之所以能在其名字后冠以“域”的稱呼，在于他們中的每個元素都有唯一的可逆元素，它的倒數(shù)。

所以本節(jié)內(nèi)容只是現(xiàn)代數(shù)論的冰山一角。不同數(shù)集對四則運算不同的封閉性，在數(shù)學家眼里有相應的命名和應用，“定義域”、“值域”這些耳熟能詳?shù)母拍畋澈笫恰皵?shù)域”應用在函數(shù)的例子。而這也與我們接下來要探究的主題密切相關：

復變函數(shù)（Complex Function）