引言

19～20世紀(jì)之交，歐洲是世界的政治和經(jīng)濟(jì)中心，第一次世界大戰(zhàn)在這里爆發(fā).同時(shí)，歐洲也是世界的數(shù)學(xué)中心.1900年，D．希爾伯特的演說(shuō)提出了“23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題”，1905年和1912年愛(ài)因斯坦先后發(fā)表狹義和廣義相對(duì)論，表明德國(guó)正在領(lǐng)導(dǎo)數(shù)理科學(xué)的新潮流.

龐加萊之后的法國(guó)數(shù)學(xué)，漸漸縮為“函數(shù)論王國(guó)”；英國(guó)則以硬分析著稱；印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金像流星掠過(guò)天空.

數(shù)學(xué)哲學(xué)論戰(zhàn)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的誕生，影響整個(gè)20世紀(jì)．

1918年，德國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)中戰(zhàn)敗，但是她的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)仍然在世界稱雄.

1：19世紀(jì)末年的世界數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的后浪推前浪，不停地向前奔去．17世紀(jì)的英國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命，把查理一世國(guó)王送上了斷頭臺(tái)，牛頓（Isaac Newton，1642～1727）的微積分思想隨即誕生在英倫三島上．資本主義的生產(chǎn)方式帶來(lái)了18世紀(jì)法國(guó)大革命，數(shù)學(xué)的中心也移到了法國(guó)．拉格朗日（Joseph Louis Comte de Lagrange，1736～1813）、拉普拉斯（Pierre-Simon Marquis de Laplace，1749～1827）、勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752～1833）、蒙日（Gaspard Monge；1746～1818）都是一代數(shù)學(xué)權(quán)威．1794年誕生的法國(guó)綜合技術(shù)學(xué)校，成為19世紀(jì)初的世界數(shù)學(xué)中心．傅里葉（Jean Baptiste JosephFourier，1768～1830）的調(diào)和分析，柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789～1857）的分析學(xué)是其中的代表．他們的影響一直持續(xù)到今天．進(jìn)入19世紀(jì)中葉，德國(guó)的格丁根大學(xué)崛起，數(shù)學(xué)王子高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）稱雄世界．只活了40歲的黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826～1866）為人類留下了無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)珍品.法國(guó)、德國(guó)在數(shù)學(xué)上爭(zhēng)雄的局面貫穿了整個(gè)19世紀(jì)．清代學(xué)者趙翼（1721～1814）有“江山代有才人出，各領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)百年”的詩(shī)句.在近代數(shù)學(xué)史上，領(lǐng)先數(shù)百年是不可能的，奪取幾十年的霸主地位已經(jīng)很不容易了.

人們經(jīng)常提到19世紀(jì)上半葉的數(shù)學(xué)思想革命．伽羅瓦（EvaristeGalois，1811～1832）的群論，羅巴切夫斯基（Nikolai IvanovichLobachevsky，1792～1856）的非歐幾何學(xué)，柯西的復(fù)變函數(shù)論，為人們打開(kāi)了全新的天地.如果說(shuō)在此以前的數(shù)學(xué)還或多或少依賴于物理學(xué)和工程學(xué)，那么這時(shí)的數(shù)學(xué)已經(jīng)完全獨(dú)立出來(lái)，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象更加抽象化，數(shù)學(xué)的意境充滿了文化創(chuàng)造精神.繼復(fù)數(shù)獲得廣泛承認(rèn)之后，1853年哈密頓（William Rowan Hamilton，1805～1865）發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．“數(shù)學(xué)是人類思想的自由創(chuàng)造”的觀念開(kāi)始傳播，純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的分野逐漸顯露.

另一方面，數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的征程中不斷取得偉大成就.1846年，英國(guó)的亞當(dāng)斯（John Couch Adams，1819～1892）和法國(guó)的勒威耶（Urbain Jean Joseph Le Verrier，1811～1877）分別獨(dú)立地用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出海王星的軌道，預(yù)測(cè)了這顆行星的發(fā)現(xiàn).高斯在大地測(cè)量中發(fā)展了微分幾何學(xué).傅里葉分析推動(dòng)了熱力學(xué)以及振動(dòng)理論.更重要的是英國(guó)的強(qiáng)大應(yīng)用數(shù)學(xué)傳統(tǒng)繼續(xù)大放異彩.哈密頓的最小作用原理給力學(xué)以新的面貌，而麥克斯韋（James ClerkMaxwell，1831～1879）于1864年發(fā)表的電磁學(xué)方程，更是人類運(yùn)用數(shù)學(xué)研究自然規(guī)律的又一里程碑.

進(jìn)入19世紀(jì)后期，德國(guó)的國(guó)家實(shí)力陡增．在1870～1871年的普（德）法戰(zhàn)爭(zhēng)中，巴黎陷落，拿破侖三世被俘.在數(shù)學(xué)上，德國(guó)提出了明確的目標(biāo)，要謀求世界領(lǐng)先地位.執(zhí)行這一使命的是克萊因(Christian Felix Klein, 1849~1925).

克萊因出身于德國(guó)中產(chǎn)階級(jí)家庭.1865年進(jìn)入波恩大學(xué)，受到著名學(xué)者普呂克（Julius Plucker， 1801～1868）的影響，開(kāi)始研究幾何學(xué)．1869年來(lái)到格丁根大學(xué)工作，并周游歐洲諸國(guó)．1872年，到埃爾朗根大學(xué)就任正教授，并在大學(xué)評(píng)議會(huì)上發(fā)表《新近兒何學(xué)研究的比較考察》的演講，用運(yùn)動(dòng)群下的不變量來(lái)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類，這就是著名的埃爾朗根綱領(lǐng).這一幾何學(xué)上劃時(shí)代的工作，在此后的50年內(nèi)一直處于幾何研究的中心地位.

1886年春，克萊因就任格丁根大學(xué)教授．雖然繼續(xù)從事數(shù)學(xué)研究，但更多進(jìn)行行政組織、數(shù)學(xué)教育、國(guó)際交流等方面的活動(dòng).他的目標(biāo)是把格丁根大學(xué)建成世界第一流的數(shù)學(xué)中心．10年之后，努力開(kāi)始成功．1895年初，大數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）來(lái)到格丁根，克萊因本人則被授予樞密顧問(wèn)官職務(wù)，格丁根大學(xué)的學(xué)術(shù)地位陡然升高．1902年，閔科夫斯基（Hermann Minkowski，1864～1909）也來(lái)到這里．這三架馬車，終于把格丁根大學(xué)建成20世紀(jì)初期的世界數(shù)學(xué)中心．其中，克萊因是當(dāng)然的領(lǐng)袖.克萊因晚年關(guān)注應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育，開(kāi)創(chuàng)了世界第一流數(shù)學(xué)家關(guān)心中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的先例，影響深遠(yuǎn).

19世紀(jì)后期，除了學(xué)術(shù)地位不斷上升的格丁根大學(xué)之外，柏林大學(xué)是當(dāng)然的數(shù)學(xué)中心.先是狄利克雷（Gustav Peter LejeuneDirichlet，1805～1859）在該校工作了27年，贏得了很高的數(shù)學(xué)聲譽(yù)．1854年，他去格丁根大學(xué)接替去世的高斯．柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教席，則由庫(kù)默爾（Ernst Eduard Kummer，1810～1893）、魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815～1897）和克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823～1891）三位名家先后承擔(dān)．庫(kù)默爾長(zhǎng)期擔(dān)任柏林大學(xué)的校長(zhǎng)，以“理想數(shù)”的工作成為現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論的先驅(qū).克羅內(nèi)克在代數(shù)學(xué)、數(shù)論、橢圓函數(shù)論方面成就卓著，并有非常廣泛的社會(huì)和學(xué)術(shù)聯(lián)系，被稱為德國(guó)數(shù)學(xué)的無(wú)冕之王.不過(guò)：對(duì)后世影響更大的則應(yīng)是魏爾斯特拉斯.

魏爾斯特拉斯出身于一個(gè)政府官員家庭.父親叫他到波恩大學(xué)攻讀法學(xué)博士學(xué)位.由于不喜歡，他未畢業(yè)就離開(kāi)了.后來(lái)在一所神學(xué)哲學(xué)院讀數(shù)學(xué)，通過(guò)中學(xué)教師資格的國(guó)家考試以后，曾任中學(xué)教師達(dá)15年之久．期間他發(fā)表橢圓函數(shù)論的重要文章，被破格授予哥尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位．1856年到柏林皇家綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授，次年到柏林大學(xué)任副教授，1864年升任正教授．1873年出任柏林大學(xué)校長(zhǎng)，成為左右德國(guó)數(shù)學(xué)界的一位領(lǐng)袖人物．這種聲譽(yù)，不僅因?yàn)樗切ｉL(zhǎng)、教授、許多論文的作者，更主要的是他的學(xué)術(shù)風(fēng)格．魏爾斯特拉斯是19世紀(jì)末分析嚴(yán)格化進(jìn)程的代表人物，反映了那個(gè)時(shí)代和20世紀(jì)整個(gè)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的潮流．他首先給出嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，第一個(gè)明確地使用ε-δ語(yǔ)言，引進(jìn)有界集、無(wú)界集、集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、極限點(diǎn)、連通性等概念，特別是運(yùn)用一致收斂的概念得出極限交換的定理.這一切，對(duì)今天的數(shù)學(xué)系大學(xué)生而言，似乎是理所當(dāng)然的事.ε-δ語(yǔ)言的精髓已經(jīng)滲入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的每一根血管，牽動(dòng)著每一根神經(jīng)，追根溯源，魏爾斯特拉斯做出了高于一切的貢獻(xiàn).希爾伯特認(rèn)為：“魏爾斯特拉斯以其酷愛(ài)批判的精神和深邃的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)澄清極小、極大、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念，他排除了在微積分中仍在出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤提法，掃清了關(guān)于無(wú)窮大、無(wú)窮小等的各種混亂觀念，決定性地克服了源于無(wú)窮大、無(wú)窮小朦朧思想的困難·····今天，分析學(xué)能達(dá)到這樣和諧、可靠和完美的程度······本質(zhì)上應(yīng)歸功于魏爾斯特拉斯的科學(xué)活動(dòng).”［1］魏爾斯特拉斯終身未婚，他的兩個(gè)妹妹也未出嫁，她們一起照料魏爾斯特拉斯的生活，共度人生.

另一位為數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化作出重要貢獻(xiàn)，而且也是終身未娶的德國(guó)數(shù)學(xué)家是戴德金（Julius Wilhelm Richard Dede-kind，1831～1916）．他以有理數(shù)的“分割”定義實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的連續(xù)性給出了嚴(yán)密而直觀的敘述.同時(shí)，戴德金也奠定了代數(shù)數(shù)論的系統(tǒng)理論.不過(guò)，戴德金只是不倫瑞克大學(xué)的一名教授，在社會(huì)影響上自然不及魏爾斯特拉斯了.

對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家是康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor， 1845～1918）．他所創(chuàng)立的集合論成為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．集合論涉及對(duì)“無(wú)限”的理解和處理，從可數(shù)集、不可數(shù)集、超限數(shù)集等等，打開(kāi)了一個(gè)個(gè)新的領(lǐng)域.它的成功標(biāo)志著人的思維能力的一次飛躍.另一方面，每一門嚴(yán)密的數(shù)學(xué)學(xué)科往往都要用集合的語(yǔ)言開(kāi)始描述.集合論的悖論導(dǎo)致了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的論戰(zhàn)，人類思維的極限受到了集合論思想的嚴(yán)重挑戰(zhàn).集合語(yǔ)言甚至滲人到中小學(xué)生的數(shù)學(xué)課本，成為當(dāng)今人們相互交流的工具；一門數(shù)學(xué)學(xué)科，從來(lái)沒(méi)有像集合論那樣會(huì)影響到普通百姓的日常語(yǔ)言.正因?yàn)槿绱?，康托爾也成為?shù)學(xué)史上最富想象力，同時(shí)也是最有爭(zhēng)議的一位數(shù)學(xué)家.

康托爾出生于俄國(guó)的圣彼得堡，14歲時(shí)移居德國(guó)．1866年，他在柏林大學(xué)獲得博士學(xué)位，在數(shù)學(xué)思想上，受到魏爾斯特拉斯的多方面影響．1869年，康托爾在哈雷大學(xué)謀得教職.這是一所很小的不大出名的大學(xué).此前他的研究工作涉及數(shù)論和二次型等代數(shù)問(wèn)題，并不引人注意．1871年前后，他在研究傅里葉級(jí)數(shù)唯一性時(shí)，發(fā)現(xiàn)除去某種無(wú)窮點(diǎn)集之外，一個(gè)函數(shù)的

傅里葉級(jí)數(shù)若能處處收斂于零，則這一函數(shù)恒為零，這種點(diǎn)集的性質(zhì)，使康托爾注意到研究“集合”的重要性.

1874年，29歲的康托爾在德國(guó)著名的《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》（Crelles Journal für Mathcmatik）上發(fā)表《關(guān)于一切代數(shù)實(shí)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》的論文，首次提出超窮集合理論，引起人們的注意.1895～1897年間，康托爾發(fā)表《超限數(shù)理論基礎(chǔ)》共兩卷，對(duì)他以前的有關(guān)論文作了總結(jié).

康托爾的工作雖然如此重要，但他的遭遇卻是不幸的.哈雷大學(xué)教授的工資相當(dāng)微薄，全家的經(jīng)濟(jì)狀況很不好.到柏林去找一份收入高的工作，曾是他的一個(gè)迫切愿望.在柏林大學(xué)畢業(yè)的康托爾，卻無(wú)法在柏林立足.原因很簡(jiǎn)單：柏林大學(xué)數(shù)學(xué)教授克羅內(nèi)克極力反對(duì).克羅內(nèi)克雖然并非校長(zhǎng)或官員，卻因社會(huì)聲望和廣泛交際被認(rèn)為擁有無(wú)限的權(quán)力.他的數(shù)學(xué)哲學(xué)是想把一切都算術(shù)化，只承認(rèn)數(shù)列那樣的“潛無(wú)限”，否認(rèn)“實(shí)無(wú)限”的存在.這些觀點(diǎn)和魏爾斯特拉斯的觀點(diǎn)相左.他宣稱要“找出現(xiàn)有分析學(xué)賴以存在的一切結(jié)論之錯(cuò)誤”．1888年，魏爾斯特拉斯向朋友們宣布將和克羅內(nèi)克斷交.這對(duì)像魏爾斯特拉斯那樣的柏林大學(xué)校長(zhǎng)而言，不過(guò)是不交往而已.但大權(quán)威克羅內(nèi)克對(duì)小人物康托爾的批判，阻止康托爾到柏林工作，散布對(duì)超限數(shù)理論的懷疑，對(duì)康托爾不啻是一種毀滅性的打擊.在克羅內(nèi)克看來(lái)，康托爾乃是錯(cuò)誤地追隨魏爾斯特拉斯的一名后學(xué).克羅內(nèi)克貴族式的孤傲沒(méi)有得到多數(shù)人的支持，但這種傷害足以使情緒低落的康托爾在1884年患上憂郁癥，經(jīng)常要發(fā)?。搅?899年，集合論的悖論在他頭腦里縈繞，舊病再次復(fù)發(fā)，住進(jìn)了醫(yī)院.以后的一二十年中，他斷續(xù)地在哈雷大學(xué)精神病院中度過(guò)，并在那里離開(kāi)人世.

1926年，希爾伯特稱贊康托爾的超限數(shù)理論是“數(shù)學(xué)精神最令人驚羨的花朵，人類理智活動(dòng)最精美的成果”，［2］蘇聯(lián)的柯?tīng)柲缏宸颍ˋndrey Nikolaevich Kolmogorov，1903～1987）則說(shuō)：“康托爾的不朽功績(jī)，在他敢于向無(wú)窮大冒險(xiǎn)挺進(jìn)，他對(duì)似是而非的論點(diǎn)、流行的成見(jiàn)、哲學(xué)的教條等作了長(zhǎng)期的不懈的斗爭(zhēng).因此，他成為一門學(xué)科的創(chuàng)造者，而這門學(xué)科已成了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．”［3］

在德國(guó)學(xué)派影響之下，挪威數(shù)學(xué)家索福斯·李（Marius SophusLie，1842～1899）創(chuàng)立了李群和李代數(shù)理論．20世紀(jì)，幾乎所有的數(shù)學(xué)學(xué)科都和李群發(fā)生聯(lián)系.李曾在萊比錫大學(xué)任教授，對(duì)歐洲各國(guó)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很大的影響.

自牛頓以來(lái)，英國(guó)數(shù)學(xué)一向偏重應(yīng)用，19世紀(jì)仍然保持著這一傳統(tǒng)．但在19世紀(jì)的下半葉，純粹數(shù)學(xué)出現(xiàn)了兩顆明星：西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814～1897）和凱萊（Arthur Cayley，1821～1895）．他們兩人都是攻讀數(shù)學(xué)出身，于19世紀(jì)50年代進(jìn)人法學(xué)界，擔(dān)任過(guò)多年的律師，并因志趣相投成為終生好友.此后又雙雙回到數(shù)學(xué)研究，共同發(fā)展代數(shù)不變量理論，特別是線性代數(shù)中的行列式和矩陣?yán)碚摚@些工作在20世紀(jì)變得十分重要而普及．包括哈密頓發(fā)表的四元數(shù)工作在內(nèi)，他們?cè)诖鷶?shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，形成了英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的一次高潮.值得一提的是，西爾維斯特是美國(guó)純粹數(shù)學(xué)的奠基人之一. 他在美國(guó)約翰·霍普金斯大學(xué)任教授多年，創(chuàng)辦了美國(guó)第一份數(shù)學(xué)雜志:《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》(American Journalof Mathematics).凱萊也曾到該校講學(xué).

　　19世紀(jì)的俄國(guó)，開(kāi)始有了自己的數(shù)學(xué)研究. 羅巴切夫斯基的工作自然引起國(guó)際矚目,切比雪夫(Pafnuty Ljvovich Chebyshev,1821~1894)在概率論上的研究也別開(kāi)生面. 但在整體實(shí)力上無(wú)法和西歐各國(guó)相比.至于東方的印度、日本和中國(guó)，數(shù)學(xué)水平落后于西方約有200年，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究則是20世紀(jì)的事了.

　　19世紀(jì)下半葉，能和德國(guó)數(shù)學(xué)相抗衡的只有以龐加萊為代表的法國(guó)數(shù)學(xué)，我們將在下一節(jié)敘述.

參考文獻(xiàn)

[1] 沈永歡.魏爾斯特拉斯.見(jiàn)： 吳文俊主編. 世界著名數(shù)學(xué)家傳記(下集). 北京:科學(xué)出版社, 1995. 965

[2] Hilbert D. über das Unendliche Mathematische Annalen. 1926,95:161~190

[3]李娜、張錦文. 康托爾.見(jiàn)： 吳文俊主編. 世界著名數(shù)學(xué)家傳記(下集).北京: 科學(xué)出版社, 1995. 1117