命題2.4：

如果任意兩分一個線段，那么該線段上的正方形等于兩小線段上的正方形與兩個兩小線段構(gòu)成的矩形之和

已知：線段AB，點C在AB上

求證：S正方形AB2=S正方形AC2+S正方形BC2+2S矩形AC×BC

解：

在AB上作正方形AB×AD

（命題1.46）

連接BD

（公設(shè)1.1）

過點C作CF∥AD或BE，與BD交點記為點G

（命題1.31）

過點G作HK∥AB或DE

（命題1.31）

證：

∵CF∥AD

（已知）

∴∠CGB=∠ADB

（命題1.29）

∵正方形AB2中AB=AD

（定義1.22）

∴∠ADB=∠ABD

（命題1.5）

∴∠CGB=∠ABD

（公理1.1）

∴BC=CG

（命題1.6）

∵HK∥AB，CF∥BE

（已知）

∴四邊形CGKB是平行四邊形

（定義1.22）

∴BC=GK，CG=BK

（命題1.34）

∴?CGKB是菱形

（定義1.22）

∵CF∥BE

（已知）

∴∠KBC+∠GCB=兩直角

（命題1.29）

∵正方形AB×AD中，∟KBC是直角

（定義1.22）

∴∠GCB是直角

（公理1.3）

∴∠CGK，∠GKB也是直角

（命題1.34）

∴菱形CGKB是正方形，即正方形BC2

（定義1.22）

同理可證四邊形DHGF也是正方形，即正方形GH2

∵?ACGH中，AC=GH

（命題1.34）

∴S正方形GH2=S正方形AC2

（公理1.1）

∵BC=CG

（已知）

∴S矩形AC×CG=S矩形AC×BC

（公理1.1）

∵CG=GK，GH=FG

（已知）

∴S矩形GK×FG=S矩形AC×BC

（公理1.1）

∵S正方形AB2=S正方形GH2+S正方形BC2+S矩形AC×CG+S矩形GK×FG

（已知）

∴S正方形AB2=S正方形AC2+S正方形BC2+2S矩形AC×BC

證畢

此命題將在命題2.12中被使用