0:={}

1:={0}

2:={0, 1}

.......

N:={0, 1, 2, ... }

(b) "For every Y ∈ X, there is Z such that Z ∈ X and Z ∈ Y."

(?Y∈X)(?Z)(Z∈X∧Z∈Y)

X的一個可能的解為

X∈ {{},{{{}}},{{{{}}}},...}

"For every X, there is Y ∈ X."

(?X)(?Y)(Y ∈ X)

翻譯翻譯

"所有的X都有Y使得Y ∈ X"

真的嗎？

假的。因?yàn)楫?dāng)X={}的時候就沒有一個Y ∈ X。換句話說，并不是“所有的X”都能這樣。

要推翻一個全稱命題只要舉出一個反例就行。所以推翻全稱命題是最簡單的，所以盡量不要很快的，不加充分考察的就把話說滿說死。

2.5

X?Y := "X is a subst of Y."

? "every element of X is an element of Y"

? (?a∈X)(a∈Y)

? "所有X里的東西都是Y里的東西"

? “但凡X里有的Y里都有”

P(X):="There exists no Y ∈ X ."

? ?(?Y)(Y∈X)

? (?Y)(Y?X)

? X={}

請翻譯這句話 It is clear that mathematics without definitions would be possible, but exceedingly clumsy.

GPT云：

這句話的意思是：沒有定義的數(shù)學(xué)也是可能的，但是非常笨拙。

Q(X,Y,Z):="For every U, U ∈ Z if and only if U ∈ X and U ∈ Y."

?(?U)(U∈Z?(U∈X∧U∈Y))

?"Z里有的東西X里有，Y里也有；X里有，Y里也有的東西Z里就有。"

?“Z是X和Y的交集”

?Z=X∩Y

在第3節(jié)中將證明集之交存在且唯一。

符號化看上去很高大上似的，其實(shí)只是個起手式，很機(jī)械且沒什么講究的。所需要的符號也就這么幾個。證明才是真正練腦子養(yǎng)成創(chuàng)造性思維和構(gòu)造能力的事情。哪怕只是一個很基礎(chǔ)很簡單的證明，去完成祂還是有用的。

小杠鈴也杠鈴。

附錄

集合符號：

? (空集符號)：U+2205

∈ (屬于符號)：U+2208

? (不屬于符號)：U+2209

? (包含于符號)：U+2286

? (真包含于符號)：U+2282

∩ (交集符號)：U+2229

∪ (并集符號)：U+222A

? (補(bǔ)集符號)：U+ complement

邏輯符號：

? (非符號)：U+00AC

∧ (合取符號)：U+2227

∨ (析取符號)：U+2228

→ (蘊(yùn)含符號)：U+2192

? (等價符號)：U+2194

⊥ (矛盾符號)：U+22A5

? (恒真符號)：U+22A4

這里只列出了一些常見的符號，如果需要更全面的符號列表，可以查看 Unicode 官方網(wǎng)站的符號表。

集合論和數(shù)理邏輯中常用的全稱量詞和存在量詞的符號如下：

全稱量詞：

? (全稱量詞，表示“對于所有的”）： U+2200

存在量詞：

? (存在量詞，表示“存在一個”）：U+2203

類似于<=> 而不是 <->

我理解你的意思了。你可能在表示「當(dāng)且僅當(dāng)」時常常使用的符號是 <=>，即兩條加粗的箭頭，而不是單向箭頭 <->。那么，我需要跟你說的是，Unicode 中沒有名為“當(dāng)且僅當(dāng)”或“等價于”的獨(dú)立符號，但你可以通過組合已有符號實(shí)現(xiàn)類似效果。

一種方式是將 ? 和 = 符號組合，表示“等價于”或“當(dāng)且僅當(dāng)”。這個組合符號一般寫作 ≡，即三個水平線段。Unicode 中該符號的編碼為 U+2261。

另一種方式是將 ? 和 = 符號組合，表示“等價于”。這個組合符號一般寫作 ?，即一條左右雙向箭頭。Unicode 中該符號的編碼為 U+21D4。

值得一提的是，不同的領(lǐng)域和教材可能使用不同的符號來表示“當(dāng)且僅當(dāng)”，比如有的教材使用雙向箭頭（<->），有的則使用等價符號（≡或?）。所以具體使用什么符號最好還是參考文獻(xiàn)或者約定俗成的寫法。