上一節(jié)討論了導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性的問(wèn)題。并且可以發(fā)現(xiàn)無(wú)論是導(dǎo)數(shù)極限定理還是原函數(shù)存在定理都可以用于探究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題。那么，為什么導(dǎo)函數(shù)極限定理和原函數(shù)存在定理都可以探究導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性呢？導(dǎo)數(shù)極限定理和原函數(shù)存在定理有什么關(guān)系？ 我認(rèn)為，導(dǎo)函數(shù)極限定理和原函數(shù)存在定理是對(duì)一個(gè)問(wèn)題不同角度的研究。這個(gè)問(wèn)題就是函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題。如果函數(shù)區(qū)間可導(dǎo)，那么函數(shù)在該區(qū)間存在導(dǎo)函數(shù)，換言之，導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間存在原函數(shù)。從這點(diǎn)看，導(dǎo)函數(shù)極限定理就是從函數(shù)本身的角度去觀察導(dǎo)函數(shù)，討論如果導(dǎo)數(shù)存在，導(dǎo)數(shù)是什么性質(zhì)。而原函數(shù)存在定理則是從導(dǎo)數(shù)的角度去觀察原函數(shù)，討論原函數(shù)的形態(tài)以及什么樣的函數(shù)有資格做導(dǎo)數(shù)，也就是存在原函數(shù)。 雖然這兩個(gè)定理是對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的不同角度理解，但它們并非完全等價(jià)，而更像如圖的關(guān)系

這兩個(gè)定理面對(duì)同樣的問(wèn)題有重合的部分，也有相異的部分，同時(shí)也有它們都無(wú)法涉及的問(wèn)題。我想試著挨個(gè)解釋一下。 首先看一下區(qū)域3。這代表它們兩個(gè)定理重合的部分。這個(gè)重合的部分我認(rèn)為就是導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題探究導(dǎo)數(shù)存在的前提下導(dǎo)數(shù)本身的性態(tài)。這個(gè)問(wèn)題它們兩個(gè)都涉及到了。 區(qū)域2代表導(dǎo)函數(shù)極限定理涉及到的內(nèi)容而原函數(shù)存在定理涉及不到的內(nèi)容。這個(gè)區(qū)域我認(rèn)為就是函數(shù)求導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)極限定理可以判斷一點(diǎn)是否可導(dǎo)，并且可以算出導(dǎo)數(shù)值。但是原函數(shù)存在定理必須在導(dǎo)數(shù)存在的條件下才能判斷一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。也就是說(shuō)原函數(shù)存在定理不能判斷一點(diǎn)的可導(dǎo)性問(wèn)題，只能在可導(dǎo)的前提下計(jì)算一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。 區(qū)域4代表原函數(shù)存在定理涉及到的內(nèi)容而導(dǎo)數(shù)極限定理涉及不到的內(nèi)容。這個(gè)區(qū)域我認(rèn)為就是連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論導(dǎo)數(shù)極限定理無(wú)能為力。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)極限定理只能證明什么函數(shù)一定沒(méi)有原函數(shù)，但是不能證明一個(gè)函數(shù)一定有原函數(shù)。 區(qū)域1代表兩個(gè)定理都涉及不到的內(nèi)容。我認(rèn)為主要就是只能用導(dǎo)數(shù)定義的內(nèi)容。包括函數(shù)不連續(xù)一定不可導(dǎo)，去心鄰域不可導(dǎo)時(shí)一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，以及振蕩間斷點(diǎn)問(wèn)題。振蕩間斷點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)極限定理中是導(dǎo)函數(shù)極限振蕩不存在時(shí)，無(wú)法判斷一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)極限的關(guān)系。而在原函數(shù)存在定理中則是不能判斷含振蕩間斷點(diǎn)的函數(shù)有沒(méi)有原函數(shù)。這都需要導(dǎo)數(shù)定義加以判斷。