A-3-3能量
3.3.1 變力做功
變力做功的問題，一般直接積分就可以了。特殊情況我們可以直接用平均作用力乘以位移，或者作用力乘以平均位移來計算做功。
例1.將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動的角度為
，求所需要做的功。木板長度為L，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為
.
解：以轉(zhuǎn)軸為原點，選取距離轉(zhuǎn)軸x處長為dx的木板，
其對地面壓力
與地面之間的滑動摩擦力
轉(zhuǎn)動角度
摩擦力做功
至少需要克服摩擦力做功
本題中不同位置木板所受摩擦力大小不變，位移隨到端點距離線性增加。所以也可以直接用平均值計算，桿的另一端位移
，則摩擦力平均位移
.摩擦力為
，則至少做功
.
3.3.2 離心勢能
在轉(zhuǎn)動的情景中，我們在慣性參考系中使用動能定理時，過程比較麻煩，此時我們可以選轉(zhuǎn)動參考系，此時使用動能定理，需要考慮離心力做功
由于此時離心力與r成正比，離心力為保守力，可以類比彈性勢能，以圓心為勢能零點，引入r處的離心勢能
例2.（1）如圖所示，有一長度
的圓筒繞著與簡長度方向垂直的軸OO'以恒定的轉(zhuǎn)速n=100r/min旋轉(zhuǎn).簡的近軸端離軸距離為
.筒內(nèi)裝滿高度黏稠、密度
的液體.有一顆質(zhì)量m=1.0mg、密度
的粒子從圓筒正中釋放（釋放時粒子相對圓筒靜止），試求該粒子到達筒端的過程中克服液體的黏滯阻力所做的功. （2）若粒子的密度
，其它條件均不變，則粒子在到達筒端的過程中克服黏滯阻力所做的功又是多少？
解：轉(zhuǎn)動問題，我們可以換轉(zhuǎn)動參考系來分析，此時需要考慮慣性離心力的作用，或者直接考慮離心勢能。
此時粒子受到3個力的作用，慣性離心力，兩側(cè)壓力、黏滯阻力。需要注意的是，其中慣性離心力等效為此時的"重力"，兩側(cè)合壓力等效為液體的“浮力”，此時重力加速度
隨距離的變化而變化。高度粘稠，說明三力合力為0.
（1）
，此時浮力小于等效重力，粒子向外運動，從筒中點到筒右端，阻力做功等于
代入
得
其中離心力做功也可以直接用離心勢能差表示。
（2）
，此時浮力大于等效重力，粒子向內(nèi)運動，同理可得，阻力做功等于
3.3.3 臨界問題
最常見的臨界問題有2類，繩松弛，接觸面分離。
例3.有一個擺長為l的單擺（擺球可視為質(zhì)點，擺線質(zhì)量不計），在過懸掛點的豎直線上距懸掛點O距離為x處(x<l)的 c點有一固定的釘子，如圖所示.當(dāng)擺擺動時，擺線會受到釘子的阻擋.當(dāng)l一定而x取不同值時，阻擋后擺球的運動情況將不同.現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過o點），然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值.
解：假設(shè)擺初始放手時與豎直線夾角為
時，擺線松弛，小球之后做斜拋運動，剛好打到釘子。
擺線松弛時小球速度v滿足機械能守恒
繩子剛好松弛時，重力的分量提供法向加速度
斜拋運動水平位移
，豎直位移
，從松弛到擊中釘子時間為t.則
消去t得
即
代入②得
解得
代入①②得
要使得x最小，則最小，由于擺球的高度不超過O點，
最小值等于0.
此時
例4.三個半徑同為R、質(zhì)量為m的勻質(zhì)光滑小球放在光滑水平桌面上，相互接觸.用手扶住三個小球，保持相互接觸，將一個半徑相同，質(zhì)量為3m的光滑小球置于三個小球中間正上方.然后同時釋放，求上面的小球碰到桌面時的速度為多大？
解：由對稱性，剛開始上方小球豎直下落，下方3個小球以上方小球軌跡為對稱軸，對稱散開，到某一位置，上方小球和下方小球分離，開始做豎直下拋運動。我們研究一上一下兩小球球心連線所在豎直面。令連心線與豎直夾角為
.
兩球分離時，二者之間無壓力，下方小球勻速運動。假設(shè)上方小球速度
，下方小球速度
，
由垂直接觸面方向速度相等，有
二者相對速度
由機械能守恒
以下方小球為參考系，為慣性參考系，上方小球做圓周運動，分離時重力分量提供向心加速度
聯(lián)立以上方程得
故
落地速度v滿足
故
例5.如圖，AB部分是一光滑水平面，BC部分是傾角為
的光滑斜面（
時為豎直面）.一條伸直的、長為l的勻質(zhì)光滑柔軟細繩絕大部分與B棱垂直地靜止在AB面上，只是其右端有極小部分處在BC面上，于是繩便開始沿ABC下滑 （1）取
解：（1）ABC對細繩的作用力只能沿著右上方，沖量水平分量只能向右，而細繩本來向右運動，后來貼著BC豎直向下運動，動量變化量向左，故不能實現(xiàn)。
（2）假設(shè)細繩質(zhì)量線密度為
.脫離時，細繩加速度a，對細繩整體受力分析
研究在B點的小段繩，脫離接觸時受力如圖所示，
由水平方向動量定理
即
對水平面上的細繩
由機械能守恒
聯(lián)立以上3式得
注：上面如果用豎直方向動量定理的話
微元重力的沖量為高階小量，可以忽略，得到相同的結(jié)果。
3.3.4 柯尼希定理
很多問題我們在質(zhì)心參考系中考慮比較簡單，我們考慮多個物體在質(zhì)心系中的動量
已知質(zhì)心速度
故有
即在質(zhì)心系中，動量守恒。
我們再考慮多個物體在質(zhì)心系中的動能
其中第一項是質(zhì)心動能，第三項是質(zhì)心系中物體的動能，也稱為資用能。第二項為0.
故系統(tǒng)總動能
上式也稱為柯尼希定理。
另外，如果質(zhì)心系為非慣性系，為了動能定理再次適用，我們需要考慮慣性力做功。
在質(zhì)心系中，質(zhì)心的位置不變，慣性力等效作用在質(zhì)心上，故質(zhì)心系中慣性力做功為0.可以直接適用動能定理。
例6.如圖所示，把質(zhì)量均為m的兩個小鋼球用長為2l的細線連接，放在光滑的水平面上，在線的中央O處作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽略不計.試求： （1）當(dāng)兩連線的張角為
時，如圖所示，在與力F垂直的方向上鋼球所受的作用力是多大？ （2）鋼球第一次碰撞時，在與力F垂直的方向上，鋼球的對地速度為多大？ （3）經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運動，試求由于碰撞而失 去的總能量為多大？
解：（1）對O點受力分析，合力為0，設(shè)繩彈力為T，則有
故小球垂直方向受力
（2）設(shè)鋼球沿F方向速度為v_x，垂直F方向速度為v_y.
我們在質(zhì)心系中研究，則有動能定理
解得
（3）碰撞中損失的能量即為質(zhì)心系中的資用能
3.3.5 練習(xí)
練1.錘子每次從同一高度自由落下打擊木樁，每次有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入地面深度x成正比.試求木樁第n+1次打入的深度與第n次打入深度之比值.
答案：
練2.長為l的輕桿上端有一個質(zhì)量為m的小重物A，桿被鉸鏈固接在O點，如圖所示，并處于豎直位置，同時與質(zhì)量為M的物體B互相接觸.由于微小擾動使系統(tǒng)發(fā)生運動.試問： （1）質(zhì)量之比
為多少的情況下，桿在脫離物體B的時刻與水平面成角
. （2）這時物體B的速度u大小為多少？
答案：
練3.長2b的輕繩兩端各系一質(zhì)量為m的小球，中央系一質(zhì)量為M的小球.三球均靜止于光滑水平桌面上，繩處于拉直狀態(tài)。今給小球M以一沖擊，使它獲得水平速度v,v的方向與繩垂直，如圖。求：
（1）在兩端的小球發(fā)生互碰前瞬間繩中的張力； （2）若從M啟動到兩球m相碰歷時T，求在此期間M行進的距離x.
答案：
