設(shè) A 是一個極限序數(shù)，記 B 為所有在 A 之前的序數(shù)之和，即 B = sup{X | X < A}。其中，sup 表示上確界。 我們希望證明 A > B。在集合論中，序數(shù)的比較通常是基于序數(shù)之間的序關(guān)系，即存在一個單射（injective）從一個序數(shù)到另一個序數(shù)的集合之間的映射。 首先，我們觀察到對于任何序數(shù) X，X ∈ P(P(...P(B)...))，這是因為冪集操作可以逐級將序數(shù)集合擴展到更大的序數(shù)。 接下來，我們將使用歸納法來證明對于任意序數(shù) X，都有 X ≤ P(P(...P(B)...))。我們首先考慮 X = 0 的情況，它是最小的序數(shù)，自然滿足 X ≤ P(P(...P(B)...))。 現(xiàn)假設(shè)對于某個序數(shù) Y，有 Y ≤ P(P(...P(B)...))，我們希望證明 Y+1 ≤ P(P(...P(B)...))。根據(jù)冪集的定義，我們有 Y+1 = P(Y)。 根據(jù)歸納假設(shè)，我們有 Y ≤ P(P(...P(B)...))，進(jìn)一步應(yīng)用冪集操作，我們得到 P(Y) ≤ P(P(P(...P(B)...)))。由于 Y+1 = P(Y)，我們可以得出 Y+1 ≤ P(P(P(...P(B)...)))，即 Y+1 ≤ P(P(...P(B)...))。 因此，我們通過歸納法證明了對于任意序數(shù) X，都有 X ≤ P(P(...P(B)...))。 接下來，我們證明 A > B。根據(jù)集合論中的定義，我們可以使用超限歸納原理來證明這一點。假設(shè)對于任意的 X < A，都有 X ≤ P(P(...P(B)...))。 考慮集合 S = {X | X 是一個序數(shù)且 X ≤ P(P(...P(B)...))}，即 S 是所有不超過 P(P(...P(B)...)) 的序數(shù)構(gòu)成的集合。 由于 S 中的元素是序數(shù)，因此 S 是一個序數(shù)集合。我們可以使用超限歸納原理來證明 S 的最大元素是不可達(dá)序數(shù)。 假設(shè) S 有一個最大元素 D，我們可以證明 A > D。 現(xiàn)在我們使用反證法。假設(shè)不存在不可達(dá)序數(shù) D 使得 A > D。這意味著對于 S 中的每個元素 E，我們都有 A ≤ E。 考慮集合 T = {X | X｝ 是一個序數(shù)且 X ≥ P(P(...P(B)...))}，即 T 是所有大于或等于 P(P(...P(B)...)) 的序數(shù)構(gòu)成的集合。 根據(jù)假設(shè)，A 屬于 T。由于 S 和 T 都是序數(shù)集合根據(jù)假設(shè)，A 屬于 T。由于 S 和 T 都是序數(shù)集合，并且 T 包含 S，我們可以使用良序性質(zhì)得出 T 中存在最小元素 F。 現(xiàn)在我們有 P(P(...P(B)...)) ≤ F ≤ A。由于 A 是極限序數(shù)，F(xiàn) 不能是 A 的后繼序數(shù)。因此，F(xiàn) 必須是 A 自身或者是 A 的一個極限序數(shù)。 如果 F = A，那么我們得到 P(P(...P(B)...)) ≤ F ≤ A，這與我們的假設(shè) A > B 矛盾。 如果 F 是 A 的一個極限序數(shù)，那么我們可以得到 P(P(...P(B)...)) ≤ F ≤ A-1，再次與 A > B 矛盾。 因此，我們可以排除不存在不可達(dá)序數(shù) D 使得 A > D 的假設(shè)，從而得出結(jié)論 A > B。 通過超限歸納法和歸納假設(shè)，我們證明了 A > B。因此，A 是一個不可達(dá)序數(shù)。 （是否正確）