? 在進(jìn)入正題之前，我們先來(lái)看一下人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)課本的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)

結(jié)合勾股定理，我們不難得到曲線L的解析式為y=（1/4）x2+1

結(jié)合題目，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于此拋物線，其上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0,2）的距離等于其到X軸的距離

這是巧合嗎？

是否對(duì)于所有拋物線，平面上都存在一點(diǎn)和一直線，使拋物線上任意一點(diǎn)到兩者的距離相同？

我們先來(lái)觀察一下二次項(xiàng)系數(shù)為1/4的拋物線。

根據(jù)上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)，我們已知此命題對(duì)于拋物線y=（1/4）x2+1成立

我們知道，真正決定拋物線形狀的是二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，而一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)則決定拋物線的位置。

也就是說(shuō)，二次項(xiàng)系數(shù)固定的拋物線其形狀是固定的，不論一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)如何變化，都可以看作是原拋物線平移后的結(jié)果。

所以任意二次項(xiàng)系數(shù)為1/4的拋物線，都可以看作是拋物線y=（1/4）x2+1平移后的結(jié)果。

因此我們只需要跟著拋物線相應(yīng)地平移點(diǎn)（0,2）和直線y=0（即x軸）即可保證新拋物線上任意一點(diǎn)到兩者的距離相同。

事實(shí)上對(duì)于任意拋物線，都存在焦點(diǎn)與準(zhǔn)線。

平面上存在一點(diǎn)和一條直線，拋物線上任一點(diǎn)到這個(gè)點(diǎn)和這條直線的距離相等。這個(gè)點(diǎn)叫作焦點(diǎn)，這條直線叫準(zhǔn)線。（實(shí)際上這就是拋物線的定義）

在拋物線y=（1/4）x2+1中，焦點(diǎn)是點(diǎn)（0,2），準(zhǔn)線是直線y=0。

如何證明這個(gè)命題呢？

證明

這個(gè)命題直接證明不太好證明，但是我們可以從它的反面思考

滿足到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離相同的點(diǎn)的軌跡是什么呢？

如圖，我們?nèi)〗?jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合，建立直角坐標(biāo)系xOy

設(shè)KF=p（p>0）,那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,p/2），準(zhǔn)線l的方程為y=-p/2

設(shè)點(diǎn)M（x，y）到焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線l的距離相等

即MF=MH（圖看著不像，但是我盡力了）

我們最終得到點(diǎn)的軌跡為y=x2/（2p），因?yàn)?/2p可以是任意正整數(shù)。所以點(diǎn)的軌跡可以為任意形狀的拋物線（拋物線的形狀由二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值決定）。

所以任何形如y=ax2（a>0）的拋物線都有焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。

與上文同理，拋物線y=ax2+bx+c都可以看作是拋物線y=ax2平移后的結(jié)果。所以任何拋物線都存在焦點(diǎn)和準(zhǔn)線。

以上就是本篇文章的全部?jī)?nèi)容。

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