【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話(huà)嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第二章一元一次不等式?

§2-3一元一次不等式和它的解法

1、一元一次不等式的意義

【01】我們來(lái)看下面的幾個(gè)不等式 x－3＞5；a＋5＞a＋1；x/4＜1；3(1－y)＞2(y－6)? 。

【02】這些不等式都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都只有一次。

【03】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是 1 次的不等式，叫做一元一次不等式。例如，上面一些不等式都是一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

【04】解不等式的方法，就是根據(jù)不等式的性質(zhì)，把原不等式逐步變形成比較簡(jiǎn)單的不等式，直到最后得出象 x＞a 或者 x＜a 這樣最簡(jiǎn)單的不等式。這個(gè)不等式的解就是原不等式的解。

【05】在解不等式的時(shí)候，我們常常利用移項(xiàng)法則，把不等式里含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的左邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的右邊。下面我們舉例來(lái)說(shuō)明。

例1.解不等式：3－2x＞7? 。

【解】

????????根據(jù)移項(xiàng)法則，把 3 移到右邊，得－2x＞4? 。

????????兩邊都除以－2，得 x＜－2? 。

????????這個(gè)不等式的解可以象圖2·1那樣，在數(shù)軸上表示出來(lái)。

【注意1】在把不等式－2x＞4 的兩邊都除以－2 以后，得到的一個(gè)不等式是 x＜－2? 。這里必須注意這兩個(gè)不等式中不等號(hào)的方向是不同的。

【注意2】為了清楚地看出適合不等式的解的那些數(shù)值范圍，我們通常用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示不等式的解。在圖2·1里，因?yàn)?x＝－2 不適合原不等式，所以在數(shù)軸上表示－2 的一點(diǎn)，用空心圈 “ ° ” 標(biāo)出。

【06】從這個(gè)例子可以知道，不等式 3－2x＞7 根據(jù)不等式的兩個(gè)性質(zhì)逐步變形成不等式－2x＞4 和 x＜－2，它們的解是相同的。象這樣的兩個(gè)不等式 3－2x＞7 和 x＜－2，叫做同解不等式。

【07】必須注意，方程的解（也叫做方程的根）和不等式的解是不同的。一般地說(shuō)，方程的解是確定的一個(gè)（或幾個(gè)）數(shù)值（以后會(huì)講到方程的解可以有幾個(gè)），而不等式的解是一個(gè)數(shù)值范圍，它的數(shù)值可以有無(wú)數(shù)多個(gè)。例如，

【08】方程 3－2x＝7 的解是 x＝－2，只有一個(gè)數(shù)值；

【09】不等式 3－2x＞7 的解是 x＜－2，是一個(gè)數(shù)值范圍，有無(wú)數(shù)多個(gè)數(shù)，如 x＝－3，x＝－5.2 等等。

例2.解不等式：2x＜3x＋4? 。

【解】

????????根據(jù)移項(xiàng)法則，把 3x 移到左邊，得 2x－3x＜4? 。

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得－x＜4? 。

????????兩邊都乘以－1，得 x＞－4? 。

????????這個(gè)不等式的解可以象圖2·2那樣，在數(shù)軸上表示出來(lái)。

例3.解不等式：2(5－3x)＞3(4x＋2)? 。

【解】

????????去括號(hào)，得 10－6x＞12x＋6? 。

????????移項(xiàng)，得－6x－12x＞6－10? 。

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得－18x＞－4? 。

????????兩邊都除以－18，得?，就是?? 。

????????圖2·3表示數(shù)軸上能使不等式成立的數(shù)值的范圍。

【說(shuō)明】為了約筒分?jǐn)?shù)，從??得出?，必須分步寫(xiě)出，不能錯(cuò)誤地寫(xiě)成?? ?。

例4.解不等式：? 。

【解】

????????去分母，得 12(x＋1)＋2(x－2)＜21x－6? 。

????????去括號(hào)，得 12x＋12＋2x－4＜21x－6? 。

????????移項(xiàng)，得 12x＋2x－21x＜－6－12＋4? 。

????????合并同類(lèi)項(xiàng)，得 －7x＜－14? 。

????????兩邊都除以－7，得 x＞2? 。

????????圖2·4表示數(shù)軸上能使不等式成立的數(shù)值的范圍。

【10】從上面的例子可以看出，解一元一次不等式的一般步驟如下：

????????(ⅰ)去分母（乘數(shù)是正數(shù)，保留原不等號(hào)；乘數(shù)是負(fù)數(shù)，要把不等號(hào)改變成相反的不等號(hào)）；

????????(ⅱ)去括號(hào)；

????????(ⅲ)移項(xiàng)；

????????(ⅳ)合并同類(lèi)項(xiàng)；

????????(ⅴ)不等式的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)（系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要把不等號(hào)改變成相反的不等號(hào)）。

【11】由于不等式的形式不同，所以在解不等式時(shí)，上面的步驟并不一定都要用到，并且也不一定都要按照上面的順序進(jìn)行演算。

習(xí)題2-3(1)

解下列各不等式，并且在數(shù)軸上把不等式的解表示出來(lái)：

【1、x＞5；2、x＜－1；3、x＜2又1/2；4、x＜2；5、x＞0；6、x＜6；7、x＞－4又1/3；8、x＞－2；9、x＜－3；10、y＞15】

例5.解下列不等式：

【解】

(1)

????????去分母，得 3x－15－x－7＞10＋2x? 。

????????移項(xiàng)，得 3x－x－2x＞10＋15＋7? 。

????????合并，得 0x＞32? 。

????????不論 x 取什么數(shù)，這個(gè)不等式不成立。

????????∴ 原不等式?jīng)]有解。

(2)

????????去分母，得 45－x－7＋x＞10－2x? 。

????????移項(xiàng)，得－3x＋x＋2x＞10－45＋7? 。

????????合并，得 0x＞－28? 。

????????x 不論為任何值，這個(gè)不等式總是成立。

????????∴ 原不等式是絕對(duì)不等式。

【12】解不等式熟練以后，寫(xiě)法和步驟可以簡(jiǎn)化。

例6.x 是什么數(shù)的時(shí)候，代數(shù)式 3x－7 的值(1)大于零？(2)等于零？(3)小于零？

【解】

(1) 代數(shù)式 3x－7 的值大于零，就是 3x－7＞0? 。3x＞7，∴?x＞? 。

(2) 代數(shù)式 3x－7 的值等于零，就是 3x－7＝0? 。3x＝7，∴?x＝? 。

(3) 代數(shù)式 3x－7 的值小于零，就是 3x－7＜0? 。3x＜7，∴?x＜? 。

答：(1)當(dāng) x 取大于 ?的值時(shí)，3x－7 大于零；(2)當(dāng) x 取??這個(gè)值時(shí)，3x－7 等于零；(3)當(dāng) x 取小于 ?的值時(shí)，3x－7 小于零。

例7.某工人在技術(shù)革新后，完成的生產(chǎn)量超過(guò)原來(lái)生產(chǎn)定額的 15 倍。如果他原來(lái)的定額是每月生產(chǎn) 60 件，這位工人現(xiàn)在每天平均生產(chǎn)的產(chǎn)品是多少？

【解】設(shè)這位工人現(xiàn)在每天平均生產(chǎn) x 件產(chǎn)品，那末一個(gè)月生產(chǎn) 30x 件產(chǎn)品。

????????根據(jù)題意，得到不等式 30x＞15?× 60? 。

????????就是 30x＞900，∴ x＞30? 。

答：這位工人現(xiàn)在每天的產(chǎn)品多于 30 件。

例8.一個(gè)車(chē)間計(jì)劃在 15 天內(nèi)造出大型零件 192 個(gè)，最初 3 天試制，每天只做了 8 個(gè)。后來(lái)改進(jìn)了技術(shù)，結(jié)果在規(guī)定日期內(nèi)可以完成甚至可以超額完成計(jì)劃。第四天起，平均每天至少做幾個(gè)？

【解】設(shè)第四天起，平均每天做 x 個(gè)零件，那末最后的 12 天里共做了 (15－3)x 個(gè)零件。因?yàn)榍叭旃沧隽?8?× 3＝24 個(gè)零件。

????????所以根據(jù)題意，得到不等式 24＋(15－3)x ≥ 192? 。

????????就是 24＋12x ≥ 192，12x ≥ 168，∴ x?≥?14? 。

答：這個(gè)車(chē)間后來(lái)平均每天至少做 14 個(gè)零件。

【象這種用符號(hào)?“≥”（讀做大于或者等于）或者?“≤”（讀做小于或者等于）把兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)的式子，也可以叫做不等式。但是，在解的時(shí)侯，要考慮到不等和相等兩個(gè)關(guān)系同時(shí)成立的結(jié)果。】

????????圖2·8表示不等式解的范圍。

【說(shuō)明】在圖2·8里，因?yàn)?x＝14 適合這個(gè)不等式，所以在數(shù)軸上表示 14 的一點(diǎn)，用黑點(diǎn)“.”標(biāo)出? 。

習(xí)題2-3(2)

1、解下列各不等式：

【(1) x＜－6又1/11；(2) x＞3/8；(3) 絕對(duì)不等式；(4) 絕對(duì)不等式；(5) x＜3；(6) 無(wú)解】

2、求出適合下列各式中 x 的數(shù)值范圍，并且在數(shù)軸上把它表示出來(lái)：

【(1) x?≥?1，(2) x ≥ 2】

3、用不等式表示：(1) a 是一個(gè)正數(shù)；(2) a 是一個(gè)負(fù)數(shù)?！?1) a＞0，(2) a＜0】

4、下列各代數(shù)式中，字母取什么數(shù)的時(shí)侯，它的值是負(fù)數(shù)？

【(1)?x＞－1/2，(2)?y＜1/2】

5、下列各代數(shù)式中，字母取什么數(shù)的時(shí)候，它的值是正數(shù)？

【(1)?x＞－12，(2)?x＞1/2】

6、x 是什么數(shù)的時(shí)候，代數(shù)式? 的值一定小于 2？【x＜7又12/13】

7、x 是什么數(shù)的時(shí)侯，代數(shù)式 的值一定大于－1？【x＜－16】

8、一個(gè)數(shù)的 2 倍加上 5 所得的和，大于這個(gè)數(shù)的 3 倍減去 4 所得的差，求這個(gè)數(shù)的范圍?！緓＜9】

9、某校學(xué)生下鄉(xiāng)支援三秋，每小時(shí)走4公里，出發(fā)后2小時(shí)，校方有緊要通知，必須在40分鐘內(nèi)送到.通訊員騎自行車(chē)，至少以什么速度才能在40分鐘內(nèi)把信送到。[提示：40?分鐘內(nèi)送到，意思就是可以用?40?分鐘或不到?40?分鐘的時(shí)間送到]【x ≥ 16】〖山注||? 此處的“三秋”指的是“秋管”“秋收”“秋種”分別是秋時(shí)的作物管理、作物收獲和作物播種。對(duì)應(yīng)的還有“三夏”，由于“三夏”與“三秋”活動(dòng)直接關(guān)系著人民的糧食安全問(wèn)題，因此一直是生產(chǎn)活動(dòng)中的重中之重。以前鄉(xiāng)村學(xué)校會(huì)在秋天再給學(xué)生放個(gè)小長(zhǎng)假。就是為了方便各學(xué)生家的三秋農(nóng)忙生產(chǎn)工作〗

10、一個(gè)工程隊(duì)規(guī)定要在 6 天內(nèi)完成 300 土方的工程，第一天完成了 60 土方。現(xiàn)在要比原定計(jì)劃至少提前 2 天完成任務(wù)，以后幾天內(nèi)平均每天至少要完成多少土方？【x ≥?80】