我們在Ep20提到：

“完備性”是“實數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個性質(zhì)。

——所以，由此可以導出許多“實數(shù)”獨有的定理。

以及——

“‘實數(shù)完備性/連續(xù)性’也是在大學數(shù)學專業(yè)《數(shù)學分析》課程中遇到的第一個重要的概念，以此為起點，導出的“實數(shù)連續(xù)性的六個定理”的相互推導，曾幾何時是“北大數(shù)學系考研”連續(xù)幾年《數(shù)學分析》的必出題，……，當然這道題往往是其中的送分題，……，簡言之，就是，“實數(shù)的完備性”部分是數(shù)學系第一個要下功夫的學習重點?！?/span>

——實際上，實數(shù)基本原理有七個，但是聚點原理一般教材一元微積分部分不會深聊，所以我們掌握前六個翻來覆去的推導即可。

我們在Ep21聊了“實數(shù)完備性”的第一個定理——“確界原理”：非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

我們在Ep49介紹了“實數(shù)完備性”的第二個定理——“單調(diào)有界原理”：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。

并且我們在Ep49和Ep50介紹了前兩個定理的互推。

今天我們先把書上的內(nèi)容捋一下，明天開始聊這三條定理的互推。

38關于區(qū)間套的預備定理

書上的閉區(qū)間套定理的證明=“單調(diào)有界原理”的一個推論+“閉區(qū)間套”的定義

1.“單調(diào)有界原理”的一個推論：

閉區(qū)間套定理的引理：對數(shù)列{xn}和{yn}，如果滿足以下條件——

1. 數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，數(shù)列{yn}單調(diào)遞減；
   

2. xn<yn；

3. lim（yn-xn）=0，n趨向于無窮大時——

則數(shù)列{xn}和{yn}有公共極限c，即c=lim xn=lim yn。

證明：（其實如果定理熟的話，書上的推導已經(jīng)很清晰了——）

1. 由條件1知，對任意n，有yn<=y1；

2. 由條件2知，對任意n，有x1<=xn<yn<=y1，即{xn}有界；

3. 由2與條件2知，{xn}是一個單調(diào)有界數(shù)列，故而必有極限c=lim xn；

4. 同理，{yn}必有極限c'=lim?yn；

5. 由條件3知，lim（yn-xn）=lim yn-lim xn=c'-c=0，即c=c'，證畢。

注——

1. 引理即是“引出某定理的定理”的意思，可以看做一個預備條件，往往復雜的定理證明很多時候會涉及三四條引理也很正常，我們以后都會遇到。

2. 這種構造兩個單調(diào)數(shù)列，并且數(shù)列各數(shù)值間存在不等關系的方法，在六條定理互推中十分常用，在Ep50，用單調(diào)有界原理推出確界原理，我們也用了類似的方法， 感興趣的同學可以去復習一下。

2.“閉區(qū)間套”的定義

書上先給出了“閉區(qū)間”的定義：對于給定實數(shù)a<b，所有滿足a<=x<=b的數(shù)x構成的集合稱為一個閉區(qū)間，記作[a，b]。

接著給出了“閉區(qū)間套”的定義：如果[a1，b1]包含[a2，b2]，則成這兩個區(qū)間構成了一個閉區(qū)間套。

閉區(qū)間套定理——

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

分析——

1. 這個閉區(qū)間套的無限序列中，所有區(qū)間的左端點，構成一個單調(diào)遞增數(shù)列a1<=a2<=……<=an<=an+1……，右端點構成一個單調(diào)遞減數(shù)列，b1>=b2>=……>=bn>=bn+1……；

2. 由閉區(qū)間的定義可知，an<bn；

3. 已知：lim（yn-xn）=0，n趨向于無窮大時；

4. 綜合1、2、3和我們剛剛聊過的引理，存在數(shù)c使得c=lim xn=lim yn，證畢。

今天就到這里。