首先是對弧長的曲線積分：

對弧長的曲線積分道理很簡單，就是求一條線密度會變化f（x,y）的弧長的質(zhì)量。

對弧長的曲線積分只要把ds怎么求搞清楚了就行。上式是對一個坐標(biāo)軸進(jìn)行投影。

對坐標(biāo)的曲線積分則是求變力沿曲線所作的功。由于力有方向，并且曲線也有方向，所以對坐標(biāo)的曲線積分是兩個向量，即力與有向線段的點積。P、Q是變力在兩個坐標(biāo)軸的分量。

上式是對兩個個坐標(biāo)軸進(jìn)行投影。上圖中右端積分可以分開逐項計算。

由以上幾個圖很容易搞清楚對坐標(biāo)的曲線積分的原理。

對面積的曲面積分就是求面密度變化的一塊曲面的質(zhì)量。

曲面積分最重要的地方在于要把一個曲面的切平面的法向量搞清楚。

上圖是面積元素ds在xoy平面通過切平面的法向量投影公式。

從以上分析看到，對坐標(biāo)的曲面積分其實就是將流體的速度，一個三維空間向量，與曲面的切平面的法向量作點積運(yùn)算。

向量的點積運(yùn)算如上圖。

對坐標(biāo)的曲面積分公式如上。公式的左端同樣可以分開計算。

與對面積的曲面積分不同，對坐標(biāo)的曲面積分必須對三個平面，即xoy,yoz,xoz都進(jìn)行投影，然后計算求和。這是由流體速度的空間屬性決定的。

以上是z=f(x,y)的空間曲面切平面法向量的推導(dǎo)過程。

簡單總結(jié)：

1：對弧長的曲線積分是為了求出線密度變化的弧長質(zhì)量，是對一個坐標(biāo)軸進(jìn)行投影運(yùn)算。2：對坐標(biāo)的曲線積分是為了求出變力沿有向弧段所做的功，所以兩者必須進(jìn)行點積運(yùn)算，且必須對兩個坐標(biāo)軸進(jìn)行投影運(yùn)算求和，這是由變力是矢量的特點決定的。

3：對面積的曲面積分是為了求出面密度變化的空間曲面的質(zhì)量，只要對一個坐標(biāo)平面，比如xoy平面進(jìn)行投影運(yùn)算即可。

4：對坐標(biāo)的曲面積分是為了求出具有空間速度矢量的流體流出有向曲面的流量，因此也必須兩者做點積運(yùn)算，同時必須在三個坐標(biāo)平面進(jìn)行投影運(yùn)算，然后求和。

5：理解平面曲線的切向量和空間曲面切平面的法向量，是掌握以上知識的關(guān)鍵。