【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep10】數(shù)字革命：有理數(shù)到實數(shù)——順“序”又開始
大家好，每天閱讀五分鐘，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更輕松，我就是“語不驚人死不休，不嚇到人不回頭”的你大哥老碧，今天我們繼續(xù)上一期的話題：
上一期我們解釋了為什么明明無理數(shù)已經(jīng)有了一個簡單的定義——“數(shù)軸上的點對應(yīng)的不是有理數(shù)的數(shù)”，我們還要去做那些復(fù)雜得多又不好懂的其他定義？
因為上面這個定義只是一個感性認(rèn)知，而數(shù)學(xué)要的是能夠拿來作為推理依據(jù)，推理工具的具有功能性的定義——
“為了達到這個目的，數(shù)學(xué)家對數(shù)采取了不同的分類方式，常見的有兩種：
將所有數(shù)都表達成無限小數(shù)的形式，如果是3.5，就記作3.500000……或者3.499999……，那么就將數(shù)分為兩種，無限循環(huán)與無限不循環(huán)小數(shù)，由此導(dǎo)出無理數(shù)的定義“無限不循環(huán)小數(shù)”；
注：
1.是不是與“排中律”形式十分統(tǒng)一？（是A的元素/不是A的元素）
2.為什么3.50000……=3.49999……？（我們之后會詳細(xì)證明）
引入戴德金提出的“有理數(shù)分劃”的概念，將有理數(shù)攔腰切成兩段——下組和上組，兩段滿足以下性質(zhì)——
“不空”：兩個集合都必定包含元素；（邏輯上[符號語言]來說，不包含任何元素的“空集”和包含一切元素的“全集”如果合在一起，也構(gòu)成有理數(shù)集，所以要排除這種可能性）
“不漏”：兩段合在一起便是有理數(shù)；（取集合的“并”）
“不重”：兩個集合無公共元素；
“不亂”：下組里面任意一個元素小。
（這四點來自方啟勤老師的《數(shù)學(xué)分析》。國內(nèi)采用“戴德金分割”的定義方式的除了這本書，還有就是陳天權(quán)老師的《數(shù)學(xué)分析講義》，其他的，記不清了。）
這種分劃邏輯上分四種類型，
都比上組的元素
1.上組有最小數(shù)，下組無最大數(shù)；
2.上組無最小數(shù)，下組有最大數(shù)；
3.上組下組都無最值；
4.上組下組都有最值。
第四種情況我們用有理數(shù)的“稠密性”證明了不可能存在，于是分劃只分為三種類型：
1.上組有最小數(shù)，下組無最大數(shù)；
2.上組無最小數(shù)，下組有最大數(shù)；
3.上組下組都無最值。
顯然，其中第1，2種情形都對應(yīng)了有理數(shù)作為分界線——“界數(shù)”——的情況，于是每一個有理數(shù)都對應(yīng)了兩個分劃。本著數(shù)學(xué)定義的“消歧義性”，人為規(guī)定，把“界數(shù)”歸為上組或下組，因教材而異。這本書取，“界數(shù)”落在上組的情況，作為有理數(shù)的定義形式?！?/p>
然后我們介紹了無理數(shù)的序，并開始驗證有理數(shù)的”序“的性質(zhì)對無理數(shù)是否仍然成立，我們上次驗證了“三歧性”和“傳遞性”：
7實數(shù)域的序?
先定義“等于”：
再定義“大于”：?
分兩種情形——?
1.無理數(shù)與有理數(shù)的比較
意思是，每一個無理數(shù)對應(yīng)一個“有理數(shù)的分劃”，其中下組的有理數(shù)比這個無理數(shù)小，上組的則比它大。（“下小上大”）
2.無理數(shù)與無理數(shù)的比較
也就是以下組為依據(jù)，兩個不同無理數(shù)的確定的”有理數(shù)的分劃“，下組大的無理數(shù)大；
從集合論的觀點來說，就是如果我們發(fā)現(xiàn)，一個無理數(shù)確定的“有理數(shù)分劃”的下組包含另外一個，則這個無理數(shù)大。（“下大則大”）
下面我們就來由無理數(shù)“序”的定義，來驗證有理數(shù)成立的三條“序公理”：
“三歧性”，“傳遞性”和“稠密性”。
這三條性質(zhì)，對于有理數(shù)，是這樣的：
3.三歧性
我們先由無理數(shù)的定義驗證性質(zhì)一：
由無理數(shù)的“分劃”定義結(jié)合簡單的邏輯推理——任取兩個不同的數(shù)a，b確定的分劃，他們下組之間存在且僅存在三種可能的關(guān)系：前者包含后者；前者后者重合；后者包含前者——對應(yīng)界數(shù)關(guān)系：a>b，a=b，a<b。（證畢）
所以“無理數(shù)的序”滿足“三歧性”。
4.傳遞性
我們繼續(xù)驗證性質(zhì)二：
如果我們已知三個數(shù)：a>b且b>c——由“大于”定義：a，b，c各確定三個分劃1,2,3，其中1的下組包含2的下組，2的下組包含3的下組，那么由集合論也好，或者簡單的邏輯推理也好，1的下組包含3的下組——即：a>c。（證畢）
所以“無理數(shù)的序”滿足“傳遞性”。
今天我們來繼續(xù)驗證：
8輔助命題（——實數(shù)的稠密性+從“極限”的觀點定義“相等”）
5實數(shù)稠密性
我們?nèi)稳蓚€實數(shù)a>b：
由“大于”定義，a確定分劃的下組包含b確定的下組；
由“有理數(shù)分劃”的定義，a確定的下組中至少有一個有理數(shù)r，不在b確定的下組內(nèi)，即在b確定的上組內(nèi)；
由“無理數(shù)與有理數(shù)的比較”內(nèi)容知，r在a確定的下組，所以a>r，r在b確定的上組，所以r>b；
整理得有理數(shù)r，使得a>r>b。
即在任意兩個實數(shù)之間，必然存在一個有理數(shù)。（證畢）
所以“無理數(shù)的序”具有“稠密性”。
書上做了如下說明：
實數(shù)的稠密性，僅僅是說“任意兩個實數(shù)之間必然存在實數(shù)”，然而這個證明說明了，“任意兩個實數(shù)之間必然存在有理數(shù)”，這個性質(zhì)比僅僅“存在實數(shù)”要精確多了，所以說是更強的性質(zhì)。
6從“極限”的觀點定義“相等”
在此之后，書上引入了一個新穎的牛逼的有趣的非凡的小命題，當(dāng)然也是一個極其有用的小命題，便是：
這條命題提出了一種全新的對“相等”的定義方式：意思是說，如果一對實數(shù)a，b始終比有理數(shù)s大，比有理數(shù)s'小，而s與s‘的距離是可以“無限接近的”（無限接近的定義：對任意實數(shù)e，e>s’-s），那么a=b。
書中用反證法：假如a>b——
由實數(shù)的稠密性，存在有理數(shù)r，使得a>r>b，同理，存在有理數(shù)r'，使得a>r'>r，即a>r'>r>b；
r'>r，由不等式運算性質(zhì)，兩邊同時減去r，則r'-r>0，令e1=r'-r；
由命題，s‘>a>b>s，結(jié)合2，s'-s>a-b>r'-r=e1（導(dǎo)出矛盾）
因為命題要求，任意的（所有的）實數(shù)e，e>s'-s，但是如果a不等于b，則會存在一個是e1，使得s'-s>e1，所以在任何情況下，a與b不相等的情況都不成立，即a=b。
說明：
1.“任意”在邏輯里叫“全稱量詞”，就是對于所有情況下的一個評價，是一個很嚴(yán)格的說法，比如說，老碧讀的任意一本書都沒讀懂，意思即是，我讀懂的書為0；
2.因為“任意”是很嚴(yán)格的說法， 所以它的對立面就很簡單，只要存在一個不成立，即可推翻，所以很容易想到用“反證法”，“任意”的反面是“存在”，比如，說明一里的例句的對立就是：還是存在那么一本書，老碧讀懂了的，意思是，老碧雖然學(xué)習(xí)不咋地，但是也讀懂過至少一本書；
3.用極限的思想去定義“等于”是有些“反直覺”的，可以先接受這種思想再說，然后，明天老碧會拿一個例子繼續(xù)說明。
我們明天見！
