舉個(gè)例子，打電話的時(shí)候，電話機(jī)發(fā)出的信號(hào)是PAM脈沖調(diào)幅，在電話線路上傳的不是話音，而是話音通過信道編碼轉(zhuǎn)換后的脈沖序列，在收端恢復(fù)語音波形。那么對(duì)于連續(xù)的說話人語音信號(hào)，如何轉(zhuǎn)化成為一些列脈沖才能保證基本不失真，可以傳輸呢?很明顯，我們想到的就是取樣，每隔M毫秒對(duì)話音采樣一次看看電信號(hào)振幅，把振幅轉(zhuǎn)換為脈沖編碼，傳輸出去，在收端按某種規(guī)則重新生成語言。

那么，問題來了，每M毫秒采樣一次，M多小是足夠的?在收端怎么才能恢復(fù)語言波形呢?

對(duì)于第一個(gè)問題，我們考慮，語音信號(hào)是個(gè)時(shí)間頻率信號(hào)(所以對(duì)應(yīng)的F變換就表示時(shí)間頻率)把語音信號(hào)分解為若干個(gè)不同頻率的單音混合體(周期函數(shù)的復(fù)利葉級(jí)數(shù)展開，非周期的區(qū)間函數(shù)，可以看成補(bǔ)齊以后的周期信號(hào)展開，效果一樣)，對(duì)于最高頻率的信號(hào)分量，如果抽樣方式能否保證恢復(fù)這個(gè)分量，那么其他的低頻率分量也就能通過抽樣的方式使得信息得以保存。如果人的聲音高頻限制在3000Hz，那么高頻分量我們看成sin(3000t)，這個(gè)sin函數(shù)要通過抽樣保存信息，可以看為:對(duì)于一個(gè)周期，波峰采樣一次，波谷采樣一次，也就是采樣頻率是最高頻率分量的2倍(奈奎斯特抽樣定理)，我們就可以通過采樣信號(hào)無損的表示原始的模擬連續(xù)信號(hào)。這兩個(gè)信號(hào)一一對(duì)應(yīng)，互相等價(jià)。

對(duì)于第二個(gè)問題，在收端，怎么從脈沖序列(梳裝波形)恢復(fù)模擬的連續(xù)信號(hào)呢?首先，我們已經(jīng)肯定了在頻率域上面的脈沖序列已經(jīng)包含了全部信息，但是原始信息只在某一個(gè)頻率以下存在，怎么做?我們讓輸入脈沖信號(hào)I通過一個(gè)設(shè)備X，輸出信號(hào)為原始的語音O，那么I(*)X=O，這里(*)表示卷積。時(shí)域的特性不好分析，那么在頻率域F(I)*F(X)=F(O)相乘關(guān)系，這下就很明顯了，只要F(X)是一個(gè)理想的，低通濾波器就可以了(在F域畫出來就是一個(gè)方框)，它在時(shí)間域是一個(gè)鐘型函數(shù)(由于包含時(shí)間軸的負(fù)數(shù)部分，所以實(shí)際中不存在)，做出這樣的一個(gè)信號(hào)處理設(shè)備，我們就可以通過輸入的脈沖序列得到幾乎理想的原始的語音。在實(shí)際應(yīng)用中，我們的抽樣頻率通常是奈奎斯特頻率再多一點(diǎn)，3k赫茲的語音信號(hào)，抽樣標(biāo)準(zhǔn)是8k赫茲。

再舉一個(gè)例子，對(duì)于數(shù)字圖像，抽樣定理對(duì)應(yīng)于圖片的分辨率----抽樣密度越大，圖片的分辨率越高，也就越清晰。如果我們的抽樣頻率不夠，信息就會(huì)發(fā)生混疊----網(wǎng)上有一幅圖片，近視眼戴眼鏡看到的是愛因斯坦，摘掉眼睛看到的是夢(mèng)露----因?yàn)椴粠а劬?，分辨率不?抽樣頻率太低)，高頻分量失真被混入了低頻分量，才造成了一個(gè)視覺陷阱。在這里，圖像的F變化，對(duì)應(yīng)的是空間頻率。

話說回來了，直接在信道上傳原始語音信號(hào)不好嗎?模擬信號(hào)沒有抗干擾能力，沒有糾錯(cuò)能力，抽樣得到的信號(hào)，有了數(shù)字特性，傳輸性能更佳。

什么信號(hào)不能理想抽樣?時(shí)域有跳變，頻域無窮寬，例如方波信號(hào)。如果用有限帶寬的抽樣信號(hào)表示它，相當(dāng)于復(fù)利葉級(jí)數(shù)取了部分和，而這個(gè)部分和在恢復(fù)原始信號(hào)的時(shí)候，在不可導(dǎo)的點(diǎn)上面會(huì)有毛刺，也叫吉布斯現(xiàn)象。

為什么傅立葉想出了這么一個(gè)級(jí)數(shù)來?這個(gè)源于西方哲學(xué)和科學(xué)的基本思想:正交分析方法。例如研究一個(gè)立體形狀，我們使用x,y,z三個(gè)互相正交的軸:任何一個(gè)軸在其他軸上面的投影都是0。這樣的話，一個(gè)物體的3視圖就可以完全表達(dá)它的形狀。同理，信號(hào)怎么分解和分析呢?用互相正交的三角函數(shù)分量的無限和：這就是傅立葉的貢獻(xiàn)。