預(yù)備知識：

1. 【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep40】數(shù)列性質(zhì)一小波攻勢中的預(yù)備定理2：有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮小。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

求下列數(shù)列的極限：

1. lim[（n^2+1）^（1/n）-1]sin nπ/2；

2. lim{n^（1/2）*[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]}；

3. lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}.

解：

a.根據(jù)定理：有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮小——

1. 易得：

   lim[（n^2+1）^（1/n）-1]

   =lim[（n^2+1）^（1/n）]-1

   =1-1=0，

   并且|sin nπ/2|<=1；

2. 所以：lim[（n^2+1）^（1/n）-1]sin nπ/2=0.

b.分子有理化——

1. lim{n^（1/2）*[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]}

   =lim{n^（1/2）/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]}

   =lim{1/[（1+1/n）^（1/2）+1]}

   =1/2.

c.分子有理化——

1. lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/4）-（n+1）^（1/2）]}

   =lim{n^（1/2）[（n^2+1）^（1/2）-（n+1）]/[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）]}

   =lim[-2n^（3/2）]/{[（n^2+1）^（1/4）+（n+1）^（1/2）][（n^2+1）^（1/2）+（n+1）]}

   =lim（-2）/{[（1+1/n^2）^（1/4）+（1+1/n）^（1/2）][（1+1/n^2）^（1/2）+（1+1/n）]}

   =-1/2.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

設(shè)OPi=ri（i=1，2，3），試證P1，P2，P3三點共線的充要條件是存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，λ3使得λ1r1+λ2r2+λ3r3=0，且λ1+λ2+λ3=0.

證：

（必要性——）

1. P1，P2，P3三點共線，即向量P1P2//P1P3，即存在實數(shù)a，使得P1P2=aP1P3；

2. 由1：r2-r1=a（r3-r1），即（a-1）r1+r2-ar3=0，即λ1=a-1，λ2=1，λ3=-a，且λ1+λ2+λ3=0.

（充分性——）

1. 已知λ1r1+λ2r2+λ3r3=0，且λ1+λ2+λ3=0，則-（λ2+λ3）r1+λ2r2+λ3r3=0；

2. λ2（r2-r1）+λ3（r3-r1）=0，即λ2P1P2+λ3P1P3=0，P1P2=（-λ3/λ2）P1P3，即向量P1P2//P1P3，P1，P2，P3三點共線。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

是否存在二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其圖像經(jīng)過下述4個點：

P（0,2），Q（-4,1），M（-1,3），N（1,2）.

證明：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過點P、Q、M、N，當(dāng)且僅當(dāng)下述線性方程組有解——

1. c=2

2. 16a-4b+c=1

3. a-b+c=3

4. a+b+c=2

相應(yīng)的階梯方程組出現(xiàn)方程“0=-11”，因此原線性方程組無解。從而不存在二次函數(shù)，其圖像經(jīng)過P、Q、M、N。