嗨咯各位朋友！鴿了太久，還記得我咩？

首先說聲抱歉，因為學(xué)業(yè)繁忙，所以就沒再寫下去了.（畢竟我對我的學(xué)業(yè)還是比較認(rèn)真的，不管是主修還是選修(′ . .? . `)）

emmmmmm扯遠(yuǎn)了，還是進(jìn)入正題

引入

我們先來回顧一下，求

可能大家的反應(yīng)是：換元！

沒錯，這道題用換元法的確可以很快做出來。

但是，還有其他的解法，即湊微分法：（為了方便理解，我引入了中間量t，實際解題過程中我們沒有必要引入這個量）

好的我們來解讀上面的過程：

首先我們湊了微分，關(guān)注這個dx是如何變成d（2x）的

在前面學(xué)導(dǎo)數(shù)的時候，我們知道導(dǎo)數(shù)可以用d[f(x)]/dx表示，即

所以有d(2x)=2 dx，即dx=d(2x)/2

于是代入，就有

接下來就是很簡單的解積分了。

(其實湊微分法本質(zhì)還是換元)

提升

我們不可能停留在上面的例題，那道題太簡單了

例1.求

過程如下：

解析：

首先我們要關(guān)注x∧4+1，因為它的導(dǎo)數(shù)就是4x∧3

因此就有

于是dx=d(x∧4+1)/4x∧3，代入就轉(zhuǎn)換成解冪函數(shù)的積分問題了

例2.求

看起來有些復(fù)雜，其實方法還是一樣的：

來看以上的過程，關(guān)注2-5x

對它求導(dǎo) 即d(2-5x)=-5 dx

也就是dx=-d(2-5x)/5，代入就轉(zhuǎn)換為解冪函數(shù)的問題

是不是很簡單？下面的例題就有難度了。

例3.求

首先看到這個積分，你會怎么湊微分?是把-x∧2+x+1看做一個整體然后求導(dǎo)?好像不行吧......

我是這么解的：

是不是很懵逼？沒事，且聽我分解。

首先我把這個被積函數(shù)進(jìn)行恒等變換，在這里也就是將分母配方了(配方法是初中學(xué)的，所以這里不再細(xì)講如何配方)

我們神奇的發(fā)現(xiàn)，這個x–1/2貌似求導(dǎo)后為1，也就是

所以就把這個積分變成了

問題又來了，這個積分又怎么解??？

接下來我們要利用三角換元法來求解這個積分(這個方法我會在下一節(jié)講解)

我們先建立一個三角形△

根據(jù)分母，可以得到

因此就有

把這個x–1/2代入到被積函數(shù)，就有

又因為

代入，得

又因為

所以

即

OK.

最后祝大家新年快樂哦！