如圖，H為△ABC的垂心，E為直線(xiàn)CH上一點(diǎn)，M為EH中點(diǎn)，作EF⊥BH，垂足為F，圓（AFB）與圓（BHC）再次交于P點(diǎn)，設(shè)兩圓圓心分別為I，J。求證：IMPJ四點(diǎn)共圓。

首先觀察點(diǎn)的生成，不難發(fā)現(xiàn)ABCE都是比較“自由”的點(diǎn)。點(diǎn)J雖然是一個(gè)圓心，不過(guò)圓（BHC）也是很好刻畫(huà)的一個(gè)圓。而圓（AFB）以及之后生成的點(diǎn)I，點(diǎn)P不是熟知的，所以我們把重點(diǎn)放在刻畫(huà)圓（AFB）上。

我們考慮在圓（I）上的點(diǎn)B，∠FBC=∠HAC=∠DAF，繼而∠DAG=∠FAK，所以△DAG∽△FAK。所以AG/AK=DG/FK。為什么關(guān)注AG和AK兩條邊呢？我們注意到，△AHK∽△AGC，所以AG/AK=CG/HK=DG/FK。即DG/CG=FK/HK。又因?yàn)镋F∥AC，所以FK/HK=EC/HC。即EC/HC=DG/CG。過(guò)D作DL⊥BC交CE于L，由上述比例，易得M是CL中點(diǎn)。同理，易得圓（I）與AC的另一個(gè)交點(diǎn)是L關(guān)于AC的投影。

有了點(diǎn)A關(guān)于M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)L的幫助，我們對(duì)圓（I）位置的掌握更進(jìn)一步。

得隴望蜀，我們就著點(diǎn)L繼續(xù)探索圓（I）的性質(zhì)。由LD⊥BC，延長(zhǎng)DL再次交圓（I）于點(diǎn)N，顯然BN是直徑，即I為BN中點(diǎn)。到這里我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)I的位置與點(diǎn)N有著很大的關(guān)系，于是我們轉(zhuǎn)而研究點(diǎn)N的性質(zhì)。由直徑BN，AN⊥AB，所以AN∥CL，同理AH∥NL，所以四邊形ANLH是平行四邊形。又因?yàn)镸是CL中點(diǎn)，易得向量IM=1/2（向量NL+向量BC）=1/2（向量AH+向量BC）由圓BHC的性質(zhì)，1/2（向量AH+向量BC）=向量BJ。所以向量IM=向量BJ，即IMJB是平行四邊形。

到這里，我們的證明就基本結(jié)束了。由平行四邊形，得∠IMJ=∠IBJ。而∠IMJ正式我們要證的共圓中的一個(gè)圓周角，所以我們只要證∠IPJ=∠IBJ。由圓的對(duì)稱(chēng)性，B，P均關(guān)于IJ對(duì)稱(chēng)，所以這兩個(gè)角相等是顯然的。于是本題得證。