從自然數(shù)開(kāi)始，走入數(shù)學(xué)殿堂的一角。

大多數(shù)人或許已經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)的概念，更是對(duì)其加減乘除等運(yùn)算方式熟稔于心，難免疑惑：自然數(shù)還需要介紹嗎？其實(shí)，大部分人對(duì)自然數(shù)的理解只停留在“使用”階段，卻幾乎沒(méi)有深入研究過(guò)它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)和各種性質(zhì)的由來(lái)，我們似乎認(rèn)為1+1=2是天生而來(lái)的理念，認(rèn)為a+b=b+a（加法交換律）是無(wú)法再簡(jiǎn)化的定律。但實(shí)際是，這些所有的更上層的結(jié)論可以由更下層結(jié)論經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出。我們大部分的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都建立在一定的前提條件之下，而這些前提條件，若沒(méi)有追根究底的勁頭，是很難發(fā)現(xiàn)它的存在的。我們總會(huì)想，在某個(gè)地方成立的定律或規(guī)則，為什么在另一個(gè)地方卻不再適用，明明他們看起來(lái)是如此相似。許多類似的疑問(wèn)縈繞心頭，長(zhǎng)此以往，便覺(jué)得這門學(xué)科是如此神秘與難以理解，從而懷疑自身的智力水平，產(chǎn)生挫敗，這也是大部分人無(wú)法學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的原因之一。

無(wú)論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是其他的科學(xué)理論，追根溯源的心態(tài)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S是必要的，這種思維方式不僅對(duì)于學(xué)習(xí)各種知識(shí)技能受益頗深，更對(duì)于個(gè)人三觀的建立有良好的引領(lǐng)作用，對(duì)于個(gè)人生活理念和人生價(jià)值的實(shí)現(xiàn)有著難以估量的作用。

自然數(shù)系作為基礎(chǔ)的知識(shí)，也作為許多研究情況下的前提條件，深入理解其內(nèi)在對(duì)于建立牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是大有裨益的。那么現(xiàn)在請(qǐng)先忘記關(guān)于自然數(shù)的一切，忘記那些四則運(yùn)算法則，這或許是困難且看起來(lái)非必要的，但從最基礎(chǔ)的開(kāi)始可以避免循環(huán)論證，從而得到真正可靠的結(jié)論，這也是對(duì)邏輯思維的再次錘煉。

構(gòu)建自然數(shù)系有多種方式，現(xiàn)在我們使用其中的一種：Peano（皮亞諾）公理。列出皮亞諾公理如下：

1.0是一個(gè)自然數(shù)。

2.?若n是一個(gè)自然數(shù)，則n++（++代表這個(gè)數(shù)的后繼者）也是一個(gè)自然數(shù)。

3.?0不是任何自然數(shù)的后繼。即對(duì)任何自然數(shù)n，都有n++≠0。

4.?不同的自然數(shù)必有不同的后繼者。即是說(shuō)，對(duì)于任何自然數(shù)n和m，若n≠m，則必然有n++≠m++。反之，若n++＝m++，則必然有n＝m。

5.?（數(shù)學(xué)歸納原理）設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，若P(0)為真，假設(shè)當(dāng)P(n)為真時(shí)，考察若P(n++)也為真，則說(shuō)明對(duì)于任意自然數(shù)n，P(n)均成立。

我們可以說(shuō)，自然數(shù)即是滿足這五條公理的數(shù)。換言之，只要滿足上述五條公理，那么我們可以將其稱之為自然數(shù)。

或許有人會(huì)疑惑，為什么會(huì)憑空出現(xiàn)這五條公理？難道我們的數(shù)學(xué)定義是沒(méi)有邏輯可循的嗎？對(duì)于我們而言，無(wú)需在意皮亞諾公理是從何而來(lái)，又或者為什么是五條而不是四條或六條。事實(shí)上，在沒(méi)有皮亞諾公理之前，自然數(shù)已在人類歷史上應(yīng)用了幾千年，但是公理化構(gòu)造自然數(shù)的方式無(wú)疑讓自然數(shù)從代表著某種實(shí)際意義的一般的事物中變得抽象起來(lái)，他只是在這些公理之下滿足著一系列性質(zhì)，而這些性質(zhì)才是我們研究的重點(diǎn)。

需要明確的是，數(shù)學(xué)研究的核心是在某個(gè)模型之下的一系列性質(zhì)，而非是該模型是否完全“正確”。正如我們無(wú)需關(guān)心皮亞諾公理是否能“正確”定義自然數(shù)，因?yàn)槭聦?shí)上，沒(méi)有什么人或事物能告訴我們自然數(shù)究竟是“什么”，他只是我們一廂情愿創(chuàng)造的詞語(yǔ)，至于它的語(yǔ)義，也是人類賦予它的。小學(xué)時(shí)，我們學(xué)習(xí)到自然數(shù)是{0，1，2，3，......}這樣一組數(shù)，便在我們腦海中形成深刻印象，認(rèn)為這便是自然數(shù)。然而對(duì)于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)研究而言，這種定義顯然是不足的，我們?nèi)绾伪容^這組數(shù)的大小呢，如何保證3≠0或3≠2呢，如何使得他們做各種代數(shù)運(yùn)算呢。由于我們一直受這些非嚴(yán)格定義的影響，導(dǎo)致對(duì)于自然數(shù)以及其他各種概念的認(rèn)知時(shí)常處于混沌之中，哪怕我們自己，也很難告訴別人自然數(shù)究竟是什么。但是如今，為了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)，我們可以忘記曾經(jīng)的所學(xué)，從最基礎(chǔ)的公理出發(fā)，研究在某個(gè)公理體系下的各種數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)然，如果你樂(lè)意，也可以不將其稱為自然數(shù)，你可以僅僅把它當(dāng)作皮亞諾公理下的數(shù)的性質(zhì)的研究，又有何不可呢？

閑話少說(shuō)，皮亞諾公理可以讓我們得到自然數(shù)的什么性質(zhì)呢？首先，證明3≠0和3≠2這樣的命題將變得容易，下面簡(jiǎn)單展示幾個(gè)相關(guān)的證明。

下面看一個(gè)稍難一些的遞歸定義證明。

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有些人可能無(wú)法理解遞歸定義的相關(guān)敘述，實(shí)際上，遞歸定義的核心是：一個(gè)自然數(shù)，通過(guò)f這個(gè)映射，能得到一個(gè)唯一的自然數(shù)，而不是多個(gè)自然數(shù)。也即是說(shuō)，通過(guò)一個(gè)確定的自然數(shù)n，我們能得到一個(gè)唯一確定的自然數(shù)an。而證明遞歸定義的核心是：運(yùn)用構(gòu)造自然數(shù)的皮亞諾公理證明他在自然數(shù)系中是可行的。

或許曾經(jīng)我們?cè)缫颜J(rèn)識(shí)過(guò)相似的遞歸定義，但以前是直接給出這個(gè)定義，便默認(rèn)其是可行的，并沒(méi)有考慮過(guò)在其他數(shù)系下是否可行。現(xiàn)在可以確定的是，至少在一個(gè)“循環(huán)數(shù)系”中，例如“3=0”這樣的數(shù)系中，遞歸定義是不可用的。因?yàn)閺囊粋€(gè)確定的自然數(shù)n，我們無(wú)法得到一個(gè)唯一的自然數(shù)an。理解此處遞歸定義的核心，對(duì)于我們更清晰地認(rèn)識(shí)自然數(shù)以及相關(guān)的命題是有幫助的。

話不多說(shuō)，現(xiàn)給出自然數(shù)的加法定義：

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注：（x:=y表示命題x定義為等于y）。

有了加法定義之后，便可以證明幾個(gè)重要的引理和命題。

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接下來(lái)，我們可以輕松地得到加法的交換律、結(jié)合律和消去律。

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很久以前我們便學(xué)習(xí)過(guò)“自然數(shù)之和仍然等于自然數(shù)”這樣的命題，但只是把它當(dāng)作定理使用，可能并未想過(guò)他可以這樣證明而得。如今，這一切你都可以輕松做到，也應(yīng)能理解，這些類似的定理都是有理可依的，并非憑空得來(lái)的結(jié)論。理解了這種思維方式，只給出幾個(gè)簡(jiǎn)單公理和定義，你便能構(gòu)建起整個(gè)大廈之基，真正地掌握這些幾乎最原始的東西，感受到數(shù)學(xué)的奧秘之一。

現(xiàn)定義正自然數(shù)如下：

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有了這個(gè)定義，我們可以推出一些相關(guān)結(jié)論。

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有了加法的概念后，我們可以開(kāi)始定義序的概念。

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于是，我們可以容易地得到以下關(guān)于自然數(shù)序的基本性質(zhì)。

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在證明這些性質(zhì)之前，首先需要明確的是，“a當(dāng)且僅當(dāng)b”意味著什么？細(xì)致分析不難得出，這句話可以直接從字面理解，意思是“只有當(dāng)b成立時(shí)a才成立”。即是說(shuō)，當(dāng)b成立時(shí)，a也成立；當(dāng)a成立時(shí)，b也必然成立。當(dāng)我們想要定義某東西時(shí)，常常使用這樣的詞匯，以表明a與b之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系?！癮當(dāng)且僅當(dāng)b”也意味著a和b是互為充要條件的關(guān)系。特別需要注意的是，雖然“a當(dāng)且僅當(dāng)b”可以推出“a與b互為充要條件”，但“a與b互為充要條件”是否可推出“a當(dāng)且僅當(dāng)b”呢？事實(shí)上，通過(guò)細(xì)致分析，當(dāng)a成立可推出b成立時(shí)，意味著a成立時(shí)“非b”（即b的否命題）不可能成立，即是說(shuō)除了b之外的命題不可能成立，這是因?yàn)椋瑢?duì)于一個(gè)命題而言，只存在“是”和“否”兩種狀態(tài)。需要明確的是，在邏輯語(yǔ)義上，此處的“僅當(dāng)”針對(duì)的僅僅是命題b的真假性，而非是與命題b無(wú)關(guān)的第三者的命題c。即是說(shuō)，“a當(dāng)且僅當(dāng)b”的含義是只有當(dāng)b成立時(shí)a才成立，“非b”成立時(shí)a必然不成立，至于命題c能否推出命題a，并不影響“當(dāng)且僅當(dāng)”的判斷，因?yàn)楠?dú)立的命題c的真假性不影響命題b的真假性。因此，“a與b互為充要條件”可推出“a當(dāng)且僅當(dāng)b”，可以認(rèn)為，這兩者是等價(jià)的。

若是不加注意這樣一個(gè)小小詞匯的含義，可能會(huì)像筆者證明性質(zhì)（a）時(shí)那樣，使用錯(cuò)誤的證明思路。

現(xiàn)證明命題2.2.12中所有性質(zhì)如下：

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現(xiàn)在我們已經(jīng)知道一些自然數(shù)的序的性質(zhì)，接下來(lái)再證明一個(gè)重要且常見(jiàn)的性質(zhì)：序的三岐性。

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作為拓展，下面展示強(qiáng)歸納法和逆向歸納法的證明。

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