?? ? ? ? ? ? 1.小結(jié)（靜電、靜磁）

? ? ?在之前的文章中，我們已經(jīng)介紹了麥克斯韋四個(gè)方程中的靜電、靜磁兩大定律---也就是電場(chǎng)、磁場(chǎng)的高斯定律：

? ? ? ??這兩個(gè)定律分別描述了靜止電場(chǎng)、磁場(chǎng)的性質(zhì)，我們也已經(jīng)知道它們都是三維空間平方反比定律的體現(xiàn)，它們也可以用哈密頓“del”算子寫(xiě)成和的形式，這種形式將在后面的文章中詳細(xì)介紹。

? ? ? ? ? 但是，生活中往往不存在所謂的靜止，大部分的物體都處在無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)中，那么，我們讓電場(chǎng)和磁場(chǎng)“動(dòng)”起來(lái)，換句話說(shuō)，如果將恒定電磁場(chǎng)換成大小隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)，它們的規(guī)律應(yīng)該是怎樣的呢？

? ? ? ? ? ? ? ??2.電磁感應(yīng)定律

? ? 下面我們要談的這個(gè)定律，恐怕沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)麥克斯韋方程組的同學(xué)都耳熟能詳，它就是麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程：磁生電方程---法拉第電磁感應(yīng)定律，這個(gè)定律對(duì)人類世界的影響是極其深遠(yuǎn)的，各種發(fā)電廠中的交流發(fā)電機(jī)就是以這個(gè)定律為理論基礎(chǔ)制成的，它的發(fā)現(xiàn)使人類邁進(jìn)了電氣時(shí)代，引發(fā)了第二次工業(yè)革命，可以說(shuō)，如果沒(méi)有電磁感應(yīng)定律，你現(xiàn)在也不可能在這兒看到這篇文章

? ? ??講到電磁感應(yīng)，不得不提一個(gè)叫做法拉第的物理學(xué)家。1831年，法拉第做了一個(gè)在電磁學(xué)上有里程碑意義的實(shí)驗(yàn)，他把一根磁鐵棒插入了線圈，與此同時(shí)，連通線圈的靈敏電流計(jì)出現(xiàn)了擺動(dòng)，這意味著由磁產(chǎn)生了電，但是一瞬間后，電流表又歸零了，后來(lái)，法拉第用銅盤(pán)取代了線圈，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，得到了穩(wěn)定的電流輸出，人類史上第一臺(tái)發(fā)電機(jī)出現(xiàn)了，從此，人類進(jìn)入了電氣時(shí)代。

? ?? ?然而，作為一個(gè)物理學(xué)者，法拉第的數(shù)學(xué)水平卻是同一時(shí)期物理學(xué)家中最差的，所以他直到去世也未曾歸納出磁生電定律的數(shù)學(xué)形式，幸虧，這個(gè)定律到了麥克斯韋的手里…

? ? ? 我們先來(lái)看看電磁感應(yīng)定律長(zhǎng)啥樣吧：

? ? ? 我們先看式子的左邊，這個(gè)稱之為曲線積分，我們可以形象地理解為變化磁場(chǎng)B感生出一個(gè)環(huán)狀電場(chǎng)E，用一小段的電場(chǎng)強(qiáng)度E點(diǎn)乘微元長(zhǎng)度l，再對(duì)曲線上每一個(gè)E?dl求和，所得到的結(jié)果即為積分的結(jié)果，這個(gè)量我們稱之為電場(chǎng)環(huán)流，在數(shù)值上與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（也就是所謂的“感應(yīng)電壓”）是相等的（這個(gè)大家可以自己去試著證明。

? ? ? ? ? 我們?cè)賮?lái)看式子的右邊：上過(guò)小學(xué)二年級(jí)的同學(xué)們應(yīng)該已經(jīng)對(duì)它非常熟悉了：不就是曲面的磁通量對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)嘛，而且一般我們還可以寫(xiě)成這樣：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? ? ? ? ?在上篇中，我們已經(jīng)詳細(xì)介紹了通量Φ的定義了，它等于場(chǎng)強(qiáng)（或磁感應(yīng)強(qiáng)度）與面積矢量的點(diǎn)乘，用于量度通過(guò)某一曲面場(chǎng)線（力線）的多少。所以我們?cè)谟疫呉部梢詫⑼繉?xiě)作對(duì)B?dS積分了。

? ? ? ? ? 但是，這個(gè)導(dǎo)數(shù)之前為什么要加個(gè)負(fù)號(hào)呢？我們?cè)诟咧形锢碇袑W(xué)到的的電磁感應(yīng)定律不都是形式的嗎（這里的E為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)），其實(shí)這種形式其實(shí)是有問(wèn)題的，雖然我們可以直接的通過(guò)它求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，但是如果我們要給環(huán)流定義“方向”的話，這個(gè)式子就不再適用了。舉個(gè)例子，一個(gè)圓形，方向向下時(shí)變磁場(chǎng)周?chē)猩隽艘粋€(gè)電場(chǎng)，而且這個(gè)電場(chǎng)是順時(shí)針?lè)较蚶@的，如果運(yùn)用“右手螺旋定則”（這個(gè)方法在前面介紹轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的文章中也用到過(guò)）定義它的方向的話，它的方向就應(yīng)該是向下的，那它真的是個(gè)矢量嗎？不是，只是我們?yōu)榱朔奖闾幚韱?wèn)題給了它一個(gè)“方向”，和角速度這種“偽矢量”有異曲同工之妙。

? ? ? ? ? ? 再來(lái)看磁場(chǎng)，我們同樣可以定義一個(gè)“變化方向”用以表明磁場(chǎng)增強(qiáng)的方向，根據(jù)右手定則（不是右手螺旋定則），我們可以很快判斷出這個(gè)圓邊界的各長(zhǎng)度元是向圓心靠攏運(yùn)動(dòng)的…等等，這個(gè)圓怎么會(huì)變，變的不是磁場(chǎng)嗎？其實(shí)這說(shuō)明兩種磁通量的改變方式是等效的，你增大磁場(chǎng)和增大面積是可以起到相同效果的。我們?cè)谟糜沂侄▌t時(shí)，是預(yù)設(shè)它磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，面積變化的，那么既然這兩種改變方式是等效的，我們也可以說(shuō)：這個(gè)向下的磁場(chǎng)是減弱的嘍！向下減弱，就意味著向上增強(qiáng)（可以類比一輛車(chē)向前減速時(shí)，它的加速度方向是向后的）。到這里，我們發(fā)現(xiàn)電場(chǎng)環(huán)流的方向和磁場(chǎng)“變化方向”相反了，這也是我們?cè)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cdot%7B%5CPhi%20%7D%20" alt="%5Cdot%7B%5CPhi%20%7D%20">前加上一個(gè)負(fù)號(hào)的原因之一（物理學(xué)中，一般在物理量上面加點(diǎn)表示該量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)）

? ? ? ? ? ?為什么說(shuō)“之一”呢，其實(shí)它更本質(zhì)的原因是能量守恒，我們知道，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都具有一定的能量，所以“磁生電”的本質(zhì)其實(shí)是磁場(chǎng)的能量轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)的能量?，F(xiàn)在我用一個(gè)時(shí)變磁場(chǎng)感生出一個(gè)時(shí)變電場(chǎng)，而這個(gè)電場(chǎng)其實(shí)也能感生出一個(gè)新的時(shí)變磁場(chǎng)…要是一直這樣感生下去，如果場(chǎng)強(qiáng)是越變?cè)酱蟮脑?，總有一天能量?huì)達(dá)到的，這樣不就違背了能量守恒定律，能造出永動(dòng)機(jī)了嗎？而這個(gè)負(fù)號(hào)則避免了這種情況，它是楞次定律的體現(xiàn)（其實(shí)就是電磁學(xué)中的能量守恒）：電場(chǎng)與磁場(chǎng)變化方向增強(qiáng)方向相反，這才是加負(fù)號(hào)的更深層原因。

? ? ? ? ?至此，我們已經(jīng)介紹了麥克斯韋方程組中對(duì)人類影響最大的電磁感應(yīng)定律，它反映了電磁場(chǎng)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：電場(chǎng)環(huán)流的曲線積分等于曲線所圍曲面的磁通量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，一句話就是面積不變時(shí)，磁場(chǎng)變化得越快，感生出來(lái)的電場(chǎng)越強(qiáng)，這其實(shí)是挺符合人的直覺(jué)的，在后面，我們也可以將其寫(xiě)成的形式，下篇文章介紹完這種形式后，大家就會(huì)不禁感慨這么寫(xiě)的簡(jiǎn)潔了…言歸正傳，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道了變化的磁場(chǎng)能感生出電場(chǎng)，那么，變化的電場(chǎng)能不能感生出磁場(chǎng)呢？答案是肯定的。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.安培環(huán)路定理

? ? ? ? 在前面，我們已經(jīng)介紹了麥克斯韋方程組中的三個(gè)方程，分別闡明了靜電、靜磁、磁生電的物理規(guī)律，那么我們可以立馬猜出第四個(gè)方程的內(nèi)容---電生磁，也就是麥克斯韋方程組中的第四個(gè)方程---安培環(huán)路定理。

? ? ? ? ? 安培環(huán)路定理最早是長(zhǎng)這樣的：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? 一看右邊那個(gè)東西，可能有人會(huì)說(shuō)：這不是畢奧-薩伐爾定律的表達(dá)式嗎，這并不是麥克斯韋的產(chǎn)物，那為什么這個(gè)式子會(huì)出現(xiàn)在麥克斯韋方程組里面呢？

? ? ? ? 別急，我們先看看上面那個(gè)安培環(huán)路定理，式子的左邊是磁場(chǎng)環(huán)流的曲線積分，類比一下電場(chǎng)環(huán)流的曲線積分很好理解，再來(lái)看式子的右邊，那個(gè)μ0叫做真空磁導(dǎo)率，是一個(gè)聯(lián)系磁場(chǎng)強(qiáng)度H和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的一個(gè)與磁介質(zhì)有關(guān)的物理量，它們的關(guān)系為，我們只要知道它是一個(gè)與磁有關(guān)的物理量就行啦！而I表示曲面內(nèi)包含電流的強(qiáng)度，那么，安培環(huán)路定理可以這樣表述：感應(yīng)電場(chǎng)環(huán)流的曲線積分正比于曲面內(nèi)包含的電流強(qiáng)度，舉個(gè)例子，我們?cè)谝粭l銅導(dǎo)線加上電流I，學(xué)過(guò)初中物理的同學(xué)應(yīng)該都知道這個(gè)電流會(huì)感生出環(huán)繞電流的磁場(chǎng)，可以想象，這一圈一圈磁感線會(huì)圍成一個(gè)將導(dǎo)線（電流）包在中心的曲面，這些由磁感線圍成的同心圓就是我們要的電場(chǎng)環(huán)流的積分路徑，這個(gè)電流I便是曲面內(nèi)包含的電流（如說(shuō)一席話），這個(gè)式子建立的便是這個(gè)積分值與上面包含電流之間的數(shù)學(xué)關(guān)系

? ? ? ? ? 這樣就完了么？當(dāng)然不是，照這么玩下去就不關(guān)麥克斯韋什么事了。

? ? ? ? ? 首先我們可以找一個(gè)詭異的電路：用兩個(gè)金屬片分別粘上導(dǎo)線，保持兩塊金屬板平行并拉出一段距離，然后在兩條導(dǎo)線分別接在電源的兩端。這個(gè)裝置其實(shí)是一個(gè)平行板電容器，它可以起到儲(chǔ)存電荷（充電）的作用，兩個(gè)金屬片叫做極板，在充電的過(guò)程中，極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)發(fā)生變化。

? ? ? ? ? ?在充電的至充滿過(guò)程中，我們?nèi)稳∫粋€(gè)時(shí)刻，因?yàn)檫@時(shí)電容器是沒(méi)有充滿的，所以這時(shí)候，電容器一端與電源正極相連的導(dǎo)線上應(yīng)該是有電流的，這時(shí)，這個(gè)電流會(huì)感生出一個(gè)磁場(chǎng)，用上面的安培環(huán)路定理是沒(méi)有問(wèn)題的。

? ? ? ? ? ?問(wèn)題來(lái)了，當(dāng)我們把曲面邊界取在極板之間，或直接把整個(gè)電容器包絡(luò)進(jìn)了這個(gè)曲面，如果我們?cè)谶@種情況下運(yùn)用安培環(huán)路定理時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)曲面的電流強(qiáng)度為0（極板間是沒(méi)有電流的），所以用安培環(huán)路定理求解出的磁場(chǎng)環(huán)流（的積分）也是0，但是，我們又不是傻子，我們明明是知道這個(gè)磁場(chǎng)環(huán)流的積分是不可能為0的啊！

? ? ? ? ? 這說(shuō)明了什么？難道安培環(huán)路定理錯(cuò)了嗎？

? ? ? ? ? 我們來(lái)仔細(xì)分析一下這個(gè)充電過(guò)程中的物理量：電流I、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度E…等等，電場(chǎng)強(qiáng)度E在這個(gè)過(guò)程中是變化的啊，充電過(guò)程中，通過(guò)上面那種曲面的包含電流雖然為零，但曲面電通量是會(huì)發(fā)生變化的??！

? ? ? ? ?既然變化的磁場(chǎng)能產(chǎn)生電場(chǎng)，那變化的電場(chǎng)有什么理由說(shuō)：“我做不到，我不能產(chǎn)生磁場(chǎng)”呢？

? ? ? ? 于是乎，當(dāng)時(shí)的頂級(jí)物理學(xué)家麥克斯韋半憑直覺(jué)創(chuàng)造性地往安培環(huán)路定理中加了一個(gè)修正項(xiàng)，被加上這個(gè)修正項(xiàng)后的安培環(huán)路定理被拿來(lái)用時(shí)，并沒(méi)有出什么幺蛾子，這個(gè)新方程便被麥克斯韋保留了下來(lái)，正式在麥克斯韋方程組這個(gè)大家庭中安家落戶，修正后的安培環(huán)路定理長(zhǎng)這個(gè)樣子：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?

? ? ? ? ?右邊的式子看上去長(zhǎng)的一批，但這個(gè)修正項(xiàng)用人話說(shuō)就是真空介電常數(shù)ε0與通過(guò)曲面電通量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)之積而已，和電磁感應(yīng)定律中的右邊那項(xiàng)是差不多的，其實(shí)它們的本質(zhì)都是電場(chǎng)與磁場(chǎng)的相互轉(zhuǎn)化，只不過(guò)在磁這里，恒定的電流也能產(chǎn)生磁場(chǎng)

? ? ? ? ?看了這么多冗長(zhǎng)的公式，恐怕?lián)Q做任何人都會(huì)頭昏腦脹吧，其實(shí)安培環(huán)路定理也可以寫(xiě)成這樣：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ?看到這里，大家可能都會(huì)好奇這個(gè)“▽”是何方神圣，很多已經(jīng)見(jiàn)過(guò)麥克斯韋方程但并不了解它的讀者可能也記得有一個(gè)這樣的符號(hào)，為什么在“▽”的加持下，麥克斯韋方程組就能簡(jiǎn)化至極致呢，這就要我們從另一個(gè)視角來(lái)審視這四個(gè)方程了，這種神奇的簡(jiǎn)化方式將在下一篇文章中進(jìn)行介紹，在此之前，我們先來(lái)一睹麥克斯韋方程組（偏微分形式）的真容吧！

? ?? 1.高斯電場(chǎng)定律：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?? 2.高斯磁場(chǎng)定律：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ?3.法拉第定律：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ?4.安培環(huán)路定理：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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