1920年代，在集合論不斷發(fā)展的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家希爾伯特向全世界的數(shù)學(xué)家拋出了一個宏偉計劃，意在建立一個公理體系，滿足三大特性，即完備性，獨立性和無矛盾性。

當全世界的數(shù)學(xué)家都樂觀地看著數(shù)學(xué)大廈即將竣工之際，突然一聲晴天霹靂。1931年，在希爾伯特提出計劃不到3年，25歲的哥德爾使希爾伯特的夢想變成了噩夢。

Kurt Godel

哥德爾證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術(shù)的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名于世的哥德爾不完備定理。

哥德爾的證明要從說謊者悖論說起。

公元前6世紀，克里特哲學(xué)家埃庇米尼得斯（Epimenides）說了一句很有名的話：“我的這句話是假的?！?如果埃庇米尼得斯的這句話是真的，那么由這句話的內(nèi)容“我的這句話是假的”，則這句話是假的；如果這句話是假的，那“我的這句話是假的”就是假的，則這句話是真的。

無論如何都有矛盾，所以叫說謊者悖論。

既然如此，說謊者悖論能夠說明矛盾是不可避免的嗎？換句話說，科學(xué)所依賴的邏輯是有漏洞的嗎？很多人傾向于這個觀點。但是畢竟說服力不夠強。 如果能夠用嚴密的邏輯構(gòu)造出說謊者悖論，那就足夠說明這一點。

而哥德爾在他1931年的論文當中完成的就是這個工作。?

哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數(shù)學(xué)家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念?？勺C的一定是真的，但真的不一定可證。

哥德爾不完全性定理不僅使數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)發(fā)生革命性的變化，而且還涉及哲學(xué)、語言學(xué)和計算機科學(xué)，甚至宇宙學(xué)。2002年8月17日，著名宇宙學(xué)家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發(fā)表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為建立一個單一的描述宇宙的大統(tǒng)一理論是不太可能的，這一推測也正是基于哥德爾不完全性定理。

另外，哥德爾被認為是確定了定理證明、計算、人工智能、邏輯和數(shù)學(xué)本身的基本局限性，對20世紀的科學(xué)和哲學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，是現(xiàn)代理論計算機科學(xué)和人工智能理論之父。以哥德爾命名的哥德爾獎（G?del Prize），由歐洲計算機學(xué)會（EATCS）與美國計算機學(xué)會基礎(chǔ)理論專業(yè)組織（ACM SIGACT）于1993年共同設(shè)立，頒給理論計算機領(lǐng)域最杰出的學(xué)術(shù)論文。哥德爾獎是理論計算機領(lǐng)域最負盛名的獎項。

哥德爾不完全性定理的影響如此之廣泛，難怪哥德爾會被看作當代最有影響力的智慧巨人之一。美國《時代》雜志曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數(shù)學(xué)家中，排在第一的就是哥德爾。

楊學(xué)志

然而，哥德爾不完備定理被中國科學(xué)家楊學(xué)志推翻。 ????

楊學(xué)志先生求學(xué)于清華大學(xué)，獲得學(xué)士碩士和博士學(xué)位，在北京大學(xué)從事博士后研究，2000~2012年效力華為， 他原創(chuàng)的軟頻率復(fù)用（soft frequency reuse）技術(shù)是4G的三大核心技術(shù)特性之一，是世界著名的通信專家。他準確預(yù)言了5G面臨的困境，為行業(yè)的健康發(fā)展貢獻了自己的智慧。 他的專著《通信之道-從微積分到5G》，是通信學(xué)子的紅寶書。 他發(fā)起了“哲學(xué)科學(xué)化，哲學(xué)家說人話”運動，解決了二律背反，烏鴉悖論，羅素悖論，說謊者悖論，停機悖論，休謨問題，蓋梯爾問題，忒修斯之船等一系列哲學(xué)問題，重塑了邏輯系統(tǒng)和認識論。 ??

對于哥德爾定理，他敏銳地指出，說謊者悖論本身包含邏輯錯誤，所以不可能用嚴密的邏輯構(gòu)造出來，哥德爾的構(gòu)造一定包含邏輯錯誤。 他在下文當中介紹了哥德爾定理，并且運用極其嚴密的邏輯指出了哥德爾證明的具體錯誤。?

哥德爾證明 - 楊學(xué)志的文章 - 知乎? https://zhuanlan.zhihu.com/p/630681396

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他總結(jié)到：

“回顧一下哥德爾的做法，他是想把所有的數(shù)學(xué)表達都統(tǒng)一表達成哥德爾數(shù)，然后把這些數(shù)字做一些替換，從而達到實現(xiàn)自指命題和說謊者悖論。?

哥德爾做的工作，從本質(zhì)上說，就是給同一個內(nèi)容起不同的名字，當然是不可能做出什么驚天的結(jié)果。?

哥德爾的工作之所以得到廣泛的承認，是因為他給的結(jié)論如果正確的話，確實驚天地泣鬼神。而且他的推導(dǎo)基本上是嚴格的，只犯了一個錯誤。這個錯誤是如此的隱蔽，以至于希爾伯特，愛因斯坦，馮諾依曼，圖靈，以及近百年來的科學(xué)家都沒看出來。 只有追到最后一步，才發(fā)現(xiàn)哥德爾的起點本來就是說謊者悖論。?

這樣，百年哥德爾定理就被推翻了，數(shù)學(xué)界將迎來巨變。 “?????????

哥德爾的不完備定理，被認為是作為科學(xué)的基礎(chǔ)的邏輯的困境。 哥德爾的名言，“我不相信自然科學(xué)”，成為當今社會反科學(xué)力量的理論和精神依托。隨著哥德爾定理的被推翻，迷信的思潮被進一步打擊，邏輯的尊嚴得到了維護，而科學(xué)的光芒將更加熠熠生輝。 ??????