解析幾何之圓錐金槍

2023-07-20 22:08 作者:格心致力 0人讀過 | 我要投稿

解析幾何在高考中占比很重、難度很大，如何解決解析幾何問題是我們需要認(rèn)真仔細(xì)思考的。接下來我將介紹一種高科技武器——圓錐金槍，專門用來攻克高考中的解析幾何問題。

圓錐金槍是我在高中三年的刷題、學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上總結(jié)而成的解決解析幾何問題的一套方法，主要分為四部分，也就是圓錐金槍的四大技能。

1、經(jīng)典韋達(dá)定理

經(jīng)典韋達(dá)定理是圓錐金槍的第一技能，也是最為常用、最為廣泛的技能。利用韋達(dá)定理可以解決圓錐曲線中絕大部分的問題，但是有些時(shí)候利用韋達(dá)定理解決問題很繁瑣，而且計(jì)算量很大、容易出錯(cuò)。

①兩根之和

$x_1%7B%2Bx%7D_2%3D-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$

②兩根之積

$x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D$

③兩根之差

$%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B%7Ca%7C%7D$

④兩根之商

$%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_1%7D%7Bx_2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_2%7D%7Bx_1%7D%2B2%5Cright)ac%3Db%5E2$

⑤判別式

$%5Cmathrm%7B%5CDelta%7D%3Db%5E2-4ac$

2、參數(shù)方程

參數(shù)方程是圓錐金槍的第二技能，也是解決拋物線問題的有效方法。雖然利用韋達(dá)定理也可以解決拋物線問題，但是用參數(shù)方程解決拋物線問題更為直接和方便，這些經(jīng)驗(yàn)可以在實(shí)戰(zhàn)中可以得到證明。然而，用參數(shù)方程解決橢圓問題卻不是非常容易，原因是它對(duì)解題者的三角恒等變換的能力要求比較高。

①橢圓的參數(shù)方程

$x%3Da%5Ccos%7B%5Ctheta%7D$

$y%3Db%5Csin%7B%5Ctheta%7D$

②拋物線的參數(shù)方程（以開口向右的標(biāo)準(zhǔn)拋物線為例）

$x%3D2pt%5E2$

$y%3D2pt$

③雙曲線的參數(shù)方程

方程一

$x%3Da%5Csec%7B%5Ctheta%7D$

$y%3Db%5Ctan%7B%5Ctheta%7D$

方程二

$x%3D%5Cfrac%7Bam%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7B2m%7D$

$y%3D%5Cfrac%7Bbm%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2m%7D$

（以上兩種形式都是雙曲線的參數(shù)方程，第一種可以和三角函數(shù)相結(jié)合，第二種可以和對(duì)勾函數(shù)、n次多項(xiàng)式函數(shù)相結(jié)合）

3、極坐標(biāo)

極坐標(biāo)是圓錐金槍的第三技能，是不同于直角坐標(biāo)的一種表示方法，它是利用距離和角度來表征點(diǎn)。極坐標(biāo)可以和正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式、向量和三角函數(shù)相結(jié)合用來解決圓錐曲線問題。

與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

$x%3D%5Crho%5Ccos%7B%5Ctheta%7D$

$y%3D%5Crho%5Csin%7B%5Ctheta%7D$

4、仿射變換

仿射變換是圓錐金槍的第四技能，它是解決圓錐曲線問題的一種獨(dú)特的方法，在許多情況下可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。仿射變換是將圓錐曲線進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮、相似等變換，將圓錐曲線問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的方法。

? ? ? ?以上四個(gè)技能是圓錐金槍的四大技能，事實(shí)上，圓錐金槍的技能不止這些。需要再?gòu)?qiáng)調(diào)一下，一技能是比較普適性的技能，二技能很適合解決拋物線問題，三技能適合于解決與距離有關(guān)的問題，四技能對(duì)解決橢圓問題很有幫助、體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。以上四大技能還需要在解題中去練習(xí)和掌握。

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