好的！概率的基本知識，我們就要結(jié)束啦！

本篇，將會是，最后一篇——獨立性！

之后……我們就會，開始隨機變量的內(nèi)容了捏~

（還記得什么是隨機變量吧，應該吧應該吧~）

Chapter? One? 隨機事件與概率

1.5? 獨立性

什么是獨立性？如何理解獨立性？

所謂“獨立”，從漢語的角度來理解，就是事件之間毫不相關。（當然，只是數(shù)學意義上的不相關，實際上，如果考慮哲學角度，哪有毫不相關的事件。）

比如說，今天是否會下雨，和明天你是否會吃早飯，這二者之間并沒有絕對的聯(lián)系。那么，按照我們最基本的想法，這二者之間本就應該是獨立的。我們想要研究的，就是這樣的兩個以及多個事件之間，概率應該有什么樣的性質(zhì)。

我們已經(jīng)推導過概率的加法公式，這是有關并事件的性質(zhì)。那么，交事件又會有什么樣的性質(zhì)呢？

在以前的幾篇當中，我們并沒有仔細研究交事件的概率如何求解，因為交事件的概率與事件之間的關系高度相關。比如說，如果事件之間有包含關系，那么“小”的事件的概率就等于交事件的概率。所以，我們很難就一般的幾個事件來描述交事件的概率求法。

但是，對于獨立的兩個事件，我們卻很容易有這樣的認識：

如果單純地從定義角度，我們至此已經(jīng)可以說，這就是兩個事件A和B互相的定義。

但是，僅僅提出定義，似乎很難理解，這樣的定義是否真的合適。雖然這或許符合我們的直接想法，但是，有沒有一種說明，能夠更清晰地表明，這樣的定義確實合理呢？

我們不難看到，事件如果滿足我們認識當中的獨立條件，本質(zhì)上是說明，兩個隨機現(xiàn)象的樣本空間沒有的交集為空。我們記，事件A是樣本空間的子集，事件B是樣本空間的子集。那么，兩個事件各自的概率就應該等于：

（Card代表的是事件和樣本空間的合適的集合度量。）

由于這兩個隨機現(xiàn)象無任何關聯(lián)，沒有任何共同的現(xiàn)象。因此，想要將這兩個現(xiàn)象建立聯(lián)系，就只能人為地將它們復合到一起。這種復合的方式，我們是略有了解的，那就是樣本空間做直積：

（我們在數(shù)學分析部分的多元函數(shù)篇章有提到過，多維Euclid空間實際上就是實數(shù)集多次直積的結(jié)果。如果想要繼續(xù)深入了解，陳紀修老師的《數(shù)學分析》等數(shù)學分析教材以及很多實變函數(shù)和泛函分析的教材都應該會有所涉及，可以去閱讀一下~）

如果我們將樣本空間想象為離散的，那么不難想到：

（對于連續(xù)的樣本空間，度量也將類似。我們就不嚴格敘述了，這并不屬于我們目前的研究范疇~）

這樣，我們就得到了：

這確實符合我們對事件獨立性的定義。

這樣，我們就將自己的理解加入了定義當中，更加有理有據(jù)地說明了事件獨立性定義的合理性。

于是，我們現(xiàn)在可以說：

事件A，B是相互獨立的，如果它們概率滿足：

否則，稱之為兩個事件不獨立，或者相依。

對于事件之間相互獨立的定義我們已經(jīng)詳細地介紹過了。那么，接下來，還是一樣，我們就要就獨立性來研究事件的概率具有哪些性質(zhì)和公式。

首先，我們能夠想到的是，P(A)與P(AB)之間是有著直接的關系的，這一點在概率的性質(zhì)一節(jié)當中已經(jīng)有所涉及：

?

將事件相互獨立的定義式代入其中，就得到：

進而得到：

這表明，如果事件A，B互相獨立，那么事件A與事件B的對立事件相互獨立。

進一步，考慮到事件A是其對立事件的對立事件，因此就有事件A的對立事件與事件B的對立事件相互獨立。

于是，我們就得到了一系列的獨立關系。

以上的討論都還只是集中于兩個事件相互獨立。但是，多個事件的相互獨立的定義我們也不難想到。很明顯，它們至少要滿足：

（1）任意兩個事件之間都是相互獨立的；

（2）任意多個事件都是相互獨立的。

寫成表達式，就是：

從定義來講并不意外，不過，有了多個事件相互獨立的概念，我們就可以研究，試驗的獨立性。

很多時候，就像我們在上一節(jié)提到過的Bayes公式的應用當中的癌癥檢測問題，實際上就是一個后檢測結(jié)果受前檢測結(jié)果影響，導致概率發(fā)生了改變。這個時候，由于我們對檢測對象群體的選擇有所改變，因而并不能夠說這兩次檢測之間是毫無關系的。

但是，多數(shù)情況下，如果我們并不改變測試群體和測試條件，而單純地只是進行隨機試驗。那么，這幾次試驗的結(jié)果之間雖然大體相同，但是彼此卻互不影響，這種情況下，我們就可以認為這幾次試驗是彼此相互獨立的。

對于兩個試驗相互獨立，我們定義：

設有兩個試驗和，假如試驗的任意結(jié)果（事件）與試驗的任意結(jié)果（事件）都是相互獨立的事件，則稱這兩個試驗相互獨立。

多個試驗相互獨立的定義也是以此類推。

如果我們所做的各個試驗是同一種試驗，我們就稱之為n重獨立重復試驗。如果每次試驗的結(jié)果只有兩種，就稱之為n重Bernoulli試驗。

思考：

1. 求以下事件的概率

   （1）三人獨立地破譯密碼，他們各自單獨地破譯出的概率分別為1/5，1/4，1/3。最終密碼被破譯出來；

   （2）甲、乙兩人獨立地對同一目標設計一次，其命中率分別為0.8和0.7。在目標被擊中的情況下，它是被甲擊中的；

   （3）一周內(nèi)三臺機床需要維修的概率分別為0.9，0.8和0.85。一周內(nèi)至少有一臺機床要維修；

   （4）一射手對同一目標獨立地進行四次射擊。若至少命中一次的概率為80/81，該射手一次射擊就命中；

2. 假設，在以下情況下求：

   （1）A，B不相容；

   （2）A，B獨立；

   （3）A包含于B；

3. 設A，B，C兩兩獨立，且事件ABC非空。試回答以下問題：

   （1）如果P(A)=P(B)=P(C)=p，試求使最大的p；

   （2）如果在（1）的條件下，p＜1/2，且=9/16，求P(A)；

4. 試回答下列問題：

   （1）每門高射炮幾種飛機的概率為0.3，獨立同時射擊時，要以99%的把握擊中飛機，那么至少需要幾門高射炮？

   （2）投擲一枚骰子，至少需要投擲多少次才能保證事件=“至少有一次點數(shù)為6”的概率大于1/2？

   （3）每次射擊的命中率為0.5，那么至少需要射擊多少次才能使事件=“至少擊中一次”的概率不小于0.95？

5. 證明：

   （1）若0＜P(B)＜1，則事件A與B獨立的充分必要條件為：

   

   （2）若0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且：

   

   那么，事件A與B獨立；

   （3）若P(A)＞0，P(B)＞0，且A與B獨立，則A與B相容。

最後の最後に、ありがとうございました！