2023數(shù)分Day60(傅里葉級數(shù)3：理論問題舉例)

一、整體感受

涉及到很多課本原型題目，多寫多練。

題1原型：課本P81（15.1習題10），課本是1次，這里是k次求導(dǎo)

題2原型：課本P80（15.1習題4、5）

二、需要復(fù)習的

1、奇、偶、周期函數(shù)性質(zhì)：奇函數(shù)求偶數(shù)次導(dǎo)仍然是奇函數(shù)

①可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；

②可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；

③可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù).

【數(shù)分上P116總練習題】

2、黎曼-勒貝格定理

3、周期性靈活使用

三、具體題目

1【南大】

（1問）

①利用冪級數(shù)收斂域，得到其無窮次可微，寫出系數(shù)cn

②利用f(x)奇函數(shù)，得到f(x)的（2k）次導(dǎo)數(shù)后必為奇函數(shù)

③在利用奇函數(shù)性質(zhì)，只要在原點處有定義，函數(shù)值必定為0，于是f^(2k)(0)=0,所以c2k=0，k∈N

（2問）

①先利用周期函數(shù)無窮多次求導(dǎo)后仍然是周期函數(shù)，同時周期不變，而且可以得到f^(k)(π）=f^(k)(-π），k=0,1,2....

②利用f(x)為奇函數(shù)，寫出Fourier系數(shù)，an^(0)=0,bn^(0)=bn

求出an^(k+1)=n*bn^(k);bn^(K+1)=-n*an^(k)

因此得到|an^(k+1)|+|bn^(k+1)|=n(|an^(k)|+|bn^(k)|)

由此可以遞推出來得到|an^(k+2)|+|n(|an^(k+1)|+|bn^(k+1)|)=...=n^(k+2)*|bn|.

③此時利用黎曼-勒貝格定理，得出an^(k+2)和bn^(k+2)的極限為0，把n^(k+2)*|bn|拆成兩項n^2和n^k*|bn|,此時利用正項級數(shù)比較原則推論，得到其收斂

④在觀察到題干要求的然后做一次放縮，得到一致收斂。

先得出f^(k)(x),再得到f^(2k-1)(x)，

⑤最后取x=0，再由題干要求得到c2k-1.

2[華中科大]

具體做法：

①先利用可導(dǎo)性和周期性，寫出an和bn，利用T=2k

②再利用f(x)=f(x+b),做一下?lián)Q元，令x=t+b，

得到an和bn，此時變量為t，再利用三角函數(shù)性質(zhì)，和周期性f(t+b)=f(t),得到兩條an和bn的齊次線性方程組

③利用系數(shù)行列式大于0，說明線性無關(guān)，即系數(shù)為0，得到an=bn=0（n=1,2,...），因此只有a0/2這個常數(shù)

注：求這個系數(shù)行列式的過程因為k∈Z+，b是正無理數(shù)，所以這個系數(shù)行列式必不可能為0.