對(duì)于數(shù)學(xué)（家）是什么這樣的話題，或許一千個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)給出一千個(gè)答案。當(dāng)代數(shù)學(xué)大師阿蘭·孔涅就說，“是一種非常個(gè)性化的關(guān)系”。在他看來，我們無法通過學(xué)習(xí)而成為數(shù)學(xué)家，而是通過做數(shù)學(xué)，途徑另一種“嚴(yán)酷的現(xiàn)實(shí)”，要依靠詩性的眼光……他還給出了跟“實(shí)用”的建議。

撰文?|?Alain Connes


引言


本文描述一種與數(shù)學(xué)之間的非常個(gè)人化的關(guān)系。我們不要忘記，每一位數(shù)學(xué)家都是一個(gè)“特例”。以下所述內(nèi)容，都只涉及它的作者，在任何情況下都不應(yīng)被認(rèn)為是“一般”的觀點(diǎn)。
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在我看來，數(shù)學(xué)首先是最精致的思維工具，是概念的發(fā)生器，有了數(shù)學(xué)，我們可以理解各種事物、尤其是理解我們身處其中的這個(gè)世界。新的概念，就是通過在思想的熔爐中長(zhǎng)期精煉才產(chǎn)生出來的。

將數(shù)學(xué)劃分為一些獨(dú)立領(lǐng)域的想法最初是吸引人的，例如幾何是研究空間的科學(xué)，代數(shù)是符號(hào)運(yùn)算的藝術(shù)，數(shù)學(xué)分析則使我們理解無限和連續(xù)的概念，還有數(shù)論，等等。但是，這并沒有考慮到數(shù)學(xué)世界的一個(gè)本質(zhì)特征，也就是說，不可能將它的某一部分不傷筋動(dòng)骨地隔離出來。



叛逆行為


在我看來，關(guān)于數(shù)學(xué)首先要知道，我們無法通過學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)家，而是通過做數(shù)學(xué)才能成為數(shù)學(xué)家。因此，重要的并不是“學(xué)問”，而是本領(lǐng)。當(dāng)然，知識(shí)是絕對(duì)必要的——完全沒有必要拋棄前人所獲得的成就，但是，我始終認(rèn)為，努力地思考一個(gè)幾何問題比起半生不熟地積累所謂知識(shí)，可以讓人有更大的進(jìn)步。
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這樣，在我看來，我們或多或少是通過某個(gè)反叛行為才開始成為數(shù)學(xué)家的！

這話怎么講呢？它的意思就是，未來的數(shù)學(xué)家將開始對(duì)某個(gè)問題進(jìn)行思考，然后他會(huì)明白，實(shí)際上他在文獻(xiàn)資料和書籍當(dāng)中所讀到的，并不符合當(dāng)他面臨問題時(shí)的個(gè)人看法。當(dāng)然，很多時(shí)候這是因?yàn)闆]有學(xué)到家，但是這并不重要，只要他的觀點(diǎn)是建立在他的個(gè)人直覺以及證明的基礎(chǔ)上就行了。此時(shí)他將明白，在數(shù)學(xué)里面沒有權(quán)威！如果一個(gè)十二歲的學(xué)生能夠證明自己的論斷，就完全可以在他的教師面前堅(jiān)持己見，并且正因?yàn)槿绱?，才能夠讓?shù)學(xué)與其它學(xué)科相比顯示出它的獨(dú)特之處。在那些學(xué)科里，教師很容易以學(xué)生所不具有的知識(shí)作為擋箭牌。一個(gè)五歲的孩子可以對(duì)他父親說“爸爸，沒有最大的數(shù)”，并且對(duì)此十分肯定，這并不是因?yàn)樗跁锌吹竭^，而是因?yàn)樗陬^腦當(dāng)中已經(jīng)論證過了??對(duì)于善于按照規(guī)則進(jìn)行探索的人來說，這里有著廣闊的自由空間。最為重要的事情，就是成為自己的權(quán)威。也就是說，為了理解某些事情，不要立刻去嘗試確認(rèn)這是否寫在某本書里。不要！這樣做只會(huì)延遲獨(dú)立性的覺醒。需要做的事情，是在他的頭腦當(dāng)中驗(yàn)證這是否是真的。從我們明白這一點(diǎn)的時(shí)刻開始，我們就可以逐漸地去了解熟悉數(shù)學(xué)王國(guó)的某個(gè)很小的部分，并且從此開始在這個(gè)王國(guó)的神奇領(lǐng)地上以自己的方式進(jìn)行一次長(zhǎng)途的尋寶之旅。


詩情蕩漾


我們可以說，數(shù)學(xué)家的工作當(dāng)中有兩個(gè)方面，一方面在于證明、驗(yàn)證，等等，它要求全神貫注，要求高度的理性主義；然而幸運(yùn)的是，還有另一個(gè)方面，眼光！眼光這個(gè)東西，有點(diǎn)像是受到直感的驅(qū)使而得到的，它并不服從某些確定性，卻更像是一種詩歌性質(zhì)的有趣的東西。簡(jiǎn)而言之，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中有著兩個(gè)時(shí)間階段。在第一個(gè)階段里，還無法以推理的方式用公式化語言來明確表達(dá)出直覺。在這個(gè)階段里，重要的是眼光！這并不是靜態(tài)的那一方面，而是一種詩情蕩漾的境界。
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這種詩情蕩漾幾乎無法用話語來傳達(dá)?？梢院敛豢鋸埖卣f，一旦當(dāng)我們嘗試將它說出來的時(shí)候，我們就會(huì)使它變成石頭；而且我們會(huì)喪失這種動(dòng)感，而它在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中是至關(guān)重要的。
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然后，當(dāng)我們理清了問題的足夠多的方面時(shí)，并且當(dāng)我們認(rèn)識(shí)到這種眼光最終幫助我們解決問題時(shí)，事情就會(huì)發(fā)生變化。例如，當(dāng)我開始成為數(shù)學(xué)家時(shí)，在我所有的發(fā)現(xiàn)當(dāng)中最讓我感到震動(dòng)的一件事就是（那是我在雅克·迪斯米埃的指導(dǎo)下準(zhǔn)備博士論文時(shí)期），一個(gè)非交換代數(shù)隨著時(shí)間在發(fā)生變化！我所證明的是，實(shí)際上，一個(gè)非交換代數(shù)都有一個(gè)隨時(shí)間的演化，這個(gè)演化是完全典則的。更加準(zhǔn)確地說，Tomita理論所定義的演化依賴于某種態(tài)，實(shí)際上這種演化只是在模掉內(nèi)自同構(gòu)的意義上才依賴于這個(gè)態(tài)；這些內(nèi)自同構(gòu)是平凡的，不存在的。因此，這里所展示的，就是這種非交換性生成了時(shí)間【注：這里指的是孔涅的國(guó)家博士論文，其中他解決了馮·諾依曼代數(shù)理論中的第III型因子的分類問題?！?/span>！而且是從虛無當(dāng)中生成的！如此簡(jiǎn)單！就是這樣！當(dāng)然，立刻由此得出的結(jié)果就是，一個(gè)代數(shù)會(huì)包含大量的不變量，例如它的周期，也就是說，使演化成為平凡所需的時(shí)間t。但是，盡管這些結(jié)果完全是可以公式化表達(dá)的和可以傳達(dá)的，卻并不會(huì)耗盡它們?cè)姼璋愕膬?nèi)容，也不會(huì)耗盡將最初的新發(fā)現(xiàn)付諸行動(dòng)時(shí)的精彩之處。

雅克·迪斯米埃


數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)


我對(duì)有些詩人非常欣賞，例如伊夫·博納福依【注：伊夫·博納福依（Yves Bonnefoy，1923—）法國(guó)詩人和散文家】，這是由于他們?cè)诜椒ㄕ搶用嫔吓c數(shù)學(xué)相近。在我看來，數(shù)學(xué)家與詩人的不同之處，在于詩人所使用的原材料是人類經(jīng)驗(yàn)中的物質(zhì)現(xiàn)實(shí)。詩詞的主要成分，是一個(gè)人的內(nèi)心世界和外部現(xiàn)實(shí)之間的沖突，這種沖突之激烈總是使得我們震驚。而數(shù)學(xué)家的航程，則是在另外一個(gè)地理空間中、另外一個(gè)景觀中的旅游。在此期間，他會(huì)碰到另外一種現(xiàn)實(shí)。這種數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與我們身處其中的物質(zhì)現(xiàn)實(shí)同樣嚴(yán)酷而堅(jiān)固。這個(gè)眼光部分對(duì)于數(shù)學(xué)家真正做數(shù)學(xué)來說是不夠的。也就是說，相比眼光部分，在論證之后隨之而來的階段里，有著一段不確定的令人痛苦的時(shí)間，總是擔(dān)心會(huì)搞錯(cuò)。這有點(diǎn)像從陡坡上下來時(shí)，我們必須不停地往下看……我們也總是在不停地對(duì)自己說“瞧，我本來會(huì)在這里出錯(cuò)的，或許我已經(jīng)搞錯(cuò)了”。誰知道呢，我們總是在擔(dān)心！我們可能會(huì)經(jīng)歷數(shù)小時(shí)可怕的惶惶不安的時(shí)間，正是因?yàn)槲覀冇龅搅艘粋€(gè)真正的現(xiàn)實(shí)。因此，這不是普通意義上的現(xiàn)實(shí)，而可能是更加嚴(yán)酷的現(xiàn)實(shí)。
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這樣一來，真理的概念用到了另外一個(gè)世界，它并不是人類在其外部現(xiàn)實(shí)當(dāng)中所經(jīng)驗(yàn)的世界，而是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的世界。需要理解的關(guān)鍵點(diǎn)是，無數(shù)的數(shù)學(xué)家花費(fèi)一生的心血致力于發(fā)現(xiàn)這一世界；對(duì)于這個(gè)世界的輪廓和聯(lián)通性，他們的意見是一致的：無論它的生命行程源自何處，如果說這一行程足夠遙遠(yuǎn)，如果我們時(shí)刻警惕不被禁閉在某個(gè)特殊區(qū)域里面的話，遲早有一天，我們會(huì)到達(dá)這些眾所周知的城堡當(dāng)中的某一個(gè)，例如橢圓函數(shù)、模形式、ζ函數(shù)，等等。“條條道路通羅馬”，數(shù)學(xué)世界也是“連通的”。當(dāng)然，這并不意味著所有這些部分都相似。格羅騰迪克【注：格羅騰迪克（Alexandre Grothendieck，1928—2014）20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一，1966年菲爾茨獎(jiǎng)獲得者，1988年克拉福德獎(jiǎng)獲得者（他拒領(lǐng)該獎(jiǎng)）】在他的《收獲與播種》當(dāng)中，這樣描述了一幅他從分析出發(fā)，最終來到代數(shù)幾何的過程中所經(jīng)歷的景象：
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“我仍然記得這個(gè)吸引人的印象（當(dāng)然，這完全是主觀的），就像是我離開了令人厭惡的干旱荒原，突然發(fā)現(xiàn)自己來到了一個(gè)華麗繁茂、遍地流金的‘富裕地帶’，到處都充斥著無窮無盡的財(cái)富，這里令人禁不住伸出雙手，去采摘果實(shí)或者開發(fā)寶藏??”
——亞歷山大·格羅騰迪克

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阿蘭·孔涅和米哈伊爾·格羅莫夫


伽羅瓦


從某種意義上來說，伽羅瓦所領(lǐng)悟的，或者說真正的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，就是必須有能力超越演算。也就是說，不要去進(jìn)行演算，而是在思想里面進(jìn)行演算！要明白這些演算的本質(zhì)將會(huì)是什么，將會(huì)出現(xiàn)的困難是什么，等等，但是并不真正地去進(jìn)行具體的演算，從而理解它的結(jié)果將會(huì)是什么形式的，該結(jié)果將會(huì)有什么對(duì)稱性。因此，要超越這種外表形式；如果我們不加警惕的話，就很容易被困于其中。需要嘗試從高處著手去擺脫困境，在對(duì)稱性方面進(jìn)行思考，等等。

“雙腳并攏，跳過這些計(jì)算；將那些運(yùn)算加以組合，按照它們的困難程度而不是按照其形式進(jìn)行分類；在我看來，這才是我們的任務(wù)?！?br>——埃瓦里斯特·伽羅瓦

當(dāng)伽羅瓦的前輩們探求某個(gè)方程的根的對(duì)稱函數(shù)時(shí)，他自己卻開始打破這種對(duì)稱性，以便看清楚將會(huì)發(fā)生什么??他的出發(fā)點(diǎn)是選擇這些根的任意一個(gè)沒有任何對(duì)稱性的函數(shù)。奇妙之處就在于，他從這個(gè)根的函數(shù)所推導(dǎo)出來的不變?nèi)海瑢?shí)際上獨(dú)立于最初的任意選擇。

伽羅瓦的想法一點(diǎn)也不過時(shí)，它們?nèi)匀蛔虧?rùn)著當(dāng)代數(shù)學(xué)，只是因?yàn)檫@些想法簡(jiǎn)單明了并且引起了變動(dòng)。格羅騰迪克所創(chuàng)立的主題理論可以看做是伽羅瓦的理論在大于0維時(shí)的某種自然推廣，也就是說，如果我們?cè)敢獾脑?，它是在多變量多?xiàng)式情況下的推廣。這些在目前的發(fā)展，就像伽羅瓦理論的發(fā)展一樣，是伽羅瓦思想的活力之所在。這里，需要引用他的遺囑的結(jié)尾部分。
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“我親愛的奧古斯特，你知道，這些課題并不是我所探索的全部?jī)?nèi)容。某段時(shí)間以來，我的主要思索集中在不確定性理論在超越分析方面的應(yīng)用。這需要事先就明白，在超越數(shù)量或者超越函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)中，我們可以進(jìn)行怎樣的互換，我們可以用哪些數(shù)量來替換那些所給定的數(shù)量，同時(shí)保持這種關(guān)系。這立刻就會(huì)使我們所可能尋找的許多數(shù)學(xué)表達(dá)式變得不再可能了。但是，在這個(gè)廣闊的領(lǐng)域內(nèi)，我沒有時(shí)間了，我的想法也還沒能足夠成熟?！?br>——埃瓦里斯特·伽羅瓦

代數(shù)與音樂


在我看來，對(duì)于一個(gè)孩子來說，關(guān)鍵是很早就開始讓他接觸音樂。我認(rèn)為，讓一個(gè)孩子在五六歲的時(shí)候接觸音樂，可以適當(dāng)減弱他在視覺智能方面的優(yōu)勢(shì)，這種視覺智能是很奇妙的、純視覺的天賦，孩子很早就能獲得，實(shí)際上它與幾何相聯(lián)系。音樂可以通過代數(shù)將它加以平衡，也就是說，音樂與時(shí)間有關(guān)，正如代數(shù)與時(shí)間有關(guān)一樣。在數(shù)學(xué)當(dāng)中，存在著這種基本的二元性。一方面是幾何，它對(duì)應(yīng)于大腦的視覺區(qū)域，并且是一種瞬時(shí)的即刻的直覺。在這里，我們看到了一種幾何圖像，嘣！就是它，這就是一切，甚至不需要我們?nèi)ソ忉?，我們不想去解釋。然后是另一方面，那就是代?shù)。代數(shù)，它和視覺一點(diǎn)關(guān)系也沒有，相反，它具有時(shí)間性，與時(shí)間有關(guān)！這就是演算之類的東西。這就是某種變化著的東西，并且是某種和語言非常接近因此具有語言的奇妙精確性的東西。而且，我們可以通過音樂來認(rèn)識(shí)到這種代數(shù)所產(chǎn)生的力量。因此，對(duì)于我來說，在如此感受到的音樂和代數(shù)之間，確實(shí)存在著一種奇妙的默契。例如，我酷愛肖邦的一些序曲，因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)，它們恰好具有這種美妙的凝聚性和精練性。在一間屋子里聆聽這種音樂，就像窗戶被一陣風(fēng)突然吹開，然后，又從另一個(gè)方向重新關(guān)上。從某種意義上來講，這就是要將一種思想以它最清晰、最純粹的形式凝聚出來??這就是它：代數(shù)。

伊萬·托多羅夫和阿蘭·孔涅



建議


我以幾個(gè)“實(shí)際”的建議來結(jié)束此文：

1. 散步.?當(dāng)我們面臨非常復(fù)雜的難題的時(shí)候（常常需要進(jìn)行演算），有一種很好的實(shí)用方法，那就是外出長(zhǎng)時(shí)間地散步（不帶紙和筆），并且在頭腦當(dāng)中進(jìn)行演算（這時(shí)，需要忘記“這樣做太復(fù)雜了”的最初印象）。即使我們后來沒有成功，它也會(huì)形成“鮮活的記憶”，并磨練智力。
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2. 床上思考. 一般來說，數(shù)學(xué)家們最大的問題，就是讓自己的配偶明白，他們?cè)诠ぷ鳟?dāng)中最全神貫注的時(shí)刻，就是在黑暗中當(dāng)他們?cè)诖采纤X的時(shí)候。不幸的是，計(jì)算機(jī)屏幕和電子郵件對(duì)他們的侵犯，使得這種自我集中的方式使用得越來越少；而這種方式以后只會(huì)越來越顯其珍貴。
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3. 勇敢. 在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)中有兩段時(shí)間，在一段時(shí)間里需要勇敢：需要沿著峭壁往上爬，并且絕對(duì)不要往下看??為什么呢？因?yàn)槿绻汩_始往下看，你就會(huì)說：“是的！當(dāng)然是這樣的，某個(gè)人已經(jīng)研究過這個(gè)問題了，他沒有能夠解決它，那么我也就沒有任何理由能夠解決它。”然后，你將找到上百條合理的理由，它們會(huì)阻止你往上爬。因此，需要徹底地撇開它。從某種意義上來說，需要“保護(hù)自己的無知”，以便能夠孕育出某個(gè)想法，而不是在它尚處于意識(shí)里的某一個(gè)t時(shí)刻時(shí)就使它夭折了。
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4. 承受壓力. 在數(shù)學(xué)家的生活里，常常有這種情況出現(xiàn)（往往是在開始的時(shí)候），由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，他們遇到了某些困難。例如，我們收到了某個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者的“預(yù)印本”，其課題與我們正在進(jìn)行的研究相同，因此我們感受到了壓力，急于發(fā)表論文。在這樣的情況下，我所了解的唯一解決方法，就是嘗試將這種沮喪情緒轉(zhuǎn)化為能量，去更加努力地工作。
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5. 不圖認(rèn)可. 很久以前，我的一位同事向我透露說：“我們數(shù)學(xué)家的工作，就是為了得到很少幾個(gè)朋友的吝嗇的認(rèn)可?！笔沁@樣的，研究工作本質(zhì)上就是孤獨(dú)的，研究者會(huì)感到需要以這種或者那種方式得到認(rèn)可。說實(shí)話，關(guān)于這一點(diǎn)，只有唯一的一個(gè)評(píng)判者是重要的，那就是自己。并且，我們沒有辦法去違背自己。過于在意別人的觀點(diǎn)，簡(jiǎn)直就是在浪費(fèi)時(shí)間。到目前為止，沒有任何一個(gè)定理是由全體投票來得到證明的，正如費(fèi)曼所說的：“為什么你要在乎別人的想法呢！”

延伸閱讀

[1] Alain Connes, 給初學(xué)者的建議. “數(shù)學(xué)與人文”叢書第15輯《與數(shù)學(xué)大師面對(duì)面》, 2015.

?作者簡(jiǎn)介

阿蘭·孔涅 (Alain Connes)，當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，生于法國(guó)的德拉吉尼昂，1966-1970年在巴黎高等師范學(xué)校學(xué)習(xí)，其后在法國(guó)國(guó)家 科學(xué)研究中心做研究，1973年獲法國(guó)國(guó)家博士學(xué)位。1976-1980年在巴黎第6大學(xué)任教，1979 年以后在高等科學(xué)研究中心任教授，1984年起兼任法蘭西學(xué)院教授。1982年獲得菲爾茲獎(jiǎng)，2001年獲得瑞典科學(xué)院克拉福德獎(jiǎng)。他系統(tǒng)地把馮·諾依曼代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論推向完整，使算子代數(shù)產(chǎn)生革命性的變化。他把算子代數(shù)同各個(gè)主流學(xué)科聯(lián)系起來，特別是微分幾何、葉形理論、拓?fù)鋵W(xué)、K理論等，開創(chuàng)了非交換幾何的研究領(lǐng)域。

編者注：本內(nèi)容摘自高等教育出版社《解碼者：數(shù)學(xué)探秘之旅》