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關于群論中對應定理“一一對應（雙射）”部分的理解及其證明的說明

2023-02-01 03:41 作者:9冊樓閣 0人讀過 | 我要投稿

這不過是一次無謂的紙上雕花罷了。

讀者需要能理解群論對應定理（參見：定理）中所有概念的含義，最好在之前有接觸過范疇論（了解范疇論中基本的幾個概念和思想）。

還是先簡單解釋說明一下這里要談論的對應定理吧。在群論中，對應定理（Correspondence Theorem），有時也會被稱為格定理（Lattice Theorem）,或者第四同構定理（the Fourth isomorphism Theorem）,當然也可能會被叫作第三同構定理（the Third isomorphism Theorem）——畢竟關于群論里面同構定理的數(shù)量和編號本身也不是完全統(tǒng)一的。甚至，就對應定理本身而言，目前網(wǎng)上能找到的表述形式其實并不能說是完全統(tǒng)一的，有的甚至附帶了四五個命題。但所有的表述都包含有一個基礎的命題，那就是一個群包含相同正規(guī)子群的子群，和其對應商群的子群，能夠一一對應，或者說形成一個雙射?？梢钥吹?，這樣純用自然語言描述還是挺繞的，這里不妨先給出一個正式的定義，以便于后續(xù)的討論。

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可以看到，這樣的表述，并沒有比純用自然語言表述好到哪里去。而這種“模糊”，導致產(chǎn)生了一些在理解定理上可能存在的隱患，進而導致了對定理的證明存在一些理解偏差。

那我們先來講清楚這個“模糊”的地方在哪里。

一個是在定理表述中。這個定理在闡述時，只涉及了“群”這一個層面的代數(shù)結構。但群與子群的關系，以及商群的定義本身，都蘊含了群中“元素”這一層面。而最關鍵的是這里：“群G的每一個包含N的子群H，都能與商群G/H的每一個子群形成一一對應”。這句話其實說的是，將群G所有包含N的子群H形成了一個“集合”，同時將商群所有子群又形成一個“集合”，那么定理的結論是兩個“集合”形成了一個“一一對應”，或者說，“雙射”。也就是說，這個定理其實涉及了三個層面的代數(shù)結構：元素——群——“集合”。當然，也有用集族表述的教材（如Rotman的Advanced Modern Algebra），但這種“結構”在多數(shù)表述中都沒有明確體現(xiàn)出來。這其中最主要的原因就是“性價比”太低，吃力不討好?！凹稀钡恼?guī)表述，難免會涉及到樸素集合論的一些基礎問題，但因此而使用公理化集合論或范疇論的語言，也未免太費周折，對定理其他部分的理解也沒有幫助，甚至，引入過多術語還可能不利于對定理的理解。而對定理內容本身的理解不清，必然會對定理后續(xù)證明的理解產(chǎn)生影響。

一個是在定理證明時。關于這個定理的證明，我首先必須要說兩句，那是真的稀缺。我找過幾個比較有名的教材，要么證明過程過于簡略（如Paolo Aluffi的Algebra:Chapter 0），要么直接把證明作為練習留給讀者（如Dummit和Foote的Abstract Algebra），當然也有較為詳細地證明了的（如Rotman的Advanced Modern Algebra），但也有的干脆連這個定理都沒寫進正文的（如Lang的Algebra以及Artin的Algebra）。畢竟，這也不能說是什么非常重要的定理，而且它本身也有更一般、更加高觀點的形式，在群論上的這個形式的證明，自然是點到為止就好。但即使在比較詳細的證明中（如Rotman的Advanced Modern Algebra），還是存在一個關鍵的問題，就是商群G/ H的子群，與子群H的商群之間的關系。就結果而言，這兩個自然是等價的，也就是說，它們各自形成的“集合”存在“一一對應”或者“雙射”。但這個是有待證明的，不能直接混為一談。而這種“模糊”，也是讀者在該定理諸多證明中，可能主要存在的一個理解偏差，因為多數(shù)證明都是著重考慮子群和商群子群的一一對應。這個地方如果產(chǎn)生誤解，不僅可能會對定理的證明理解產(chǎn)生偏差，甚至可能會造成對定理內容本身的理解偏差。

一個是在定理意義上。這個定理本身存在一條“暗線”。之前如果接觸過這個定理，一定知道這個定理的主要用途。這里我們證明的，是上述兩個“集合”的“一一對應”，但從某種角度來看，這可以說是無關緊要的，因為我們真正想要得到的，更多的是商群子群本身的代數(shù)性質，最好有確切的形式（就結果而言，即子群H的商群）。而這些內容其實與定理的結果沒有直接關系。因此，定理的表述內容是一條“明線”，但我們對定理用途的實際需求是一條“暗線”，而這兩條線也是證明過程必須都顧及到的。只是很多的證明過程，主要對其中一條內容多有側重，因此讀者在理解證明過程時，對另一條線的內容，可能會有所疏忽，或者，也可能讀完證明后一頭霧水，沒感覺到究竟有什么意義。

下面簡單說明一下對定理證明的一些情況。這里論述證明時，以proofwiki上的證明為基礎，在這個基礎上進行修改調整。這里不會給出完整證明過程（完整過程參見鏈接），但會在行文的整個過程中，給出證明的整體思路和值得注意的細節(jié)。不給出完整證明過程主要是考慮篇幅問題，且證明不是這里的重點，重點是理解定理及證明的思路。這里之所以選擇proofwiki的證明，主要是因為以下幾個原因：一所有讀者都可以通過鏈接直接閱讀；二是沒有太多對前設命題的引用（如“參見命題5.10(III)”這種），閱讀證明的過程相對比較通順，這點不同于教材證明，當然對有群論基礎的讀者來說可能稍顯冗長；三是這個證明是諸多證明中，就我個人理解而言，闡述思路最明晰的一個，且對于上述那幾點“模糊”的地方也涉及不多，需要改動的程度也不大，便于后續(xù)論述。

完整證明鏈接（proofwiki）如下：

https://proofwiki.org/wiki/Correspondence\_Theorem\_(Group\_Theory)

在正式開始論述證明思路之前，先用下面這張圖，作為上述內容的一個階段性總結。

上圖出現(xiàn)的“對象（Object）”用來指代前面提到的“集合”（但其中的群姑且仍先記為“元素”）。此外，這些對象之間的“映射”記為態(tài)射（Morphism），這些類似的對象和態(tài)射合稱為“范疇”。這里將這個范疇記為“Set”。

接觸過范疇論的讀者一定知道，上面這段話當然是用范疇論的語言敘述的。但對于沒接觸過范疇論的讀者來說，這些只是某種概念的替換，也相對更容易接受，因此這里不對上述涉及的“新概念”進行嚴格的闡述。如果之前未接觸過范疇論的讀者追求更嚴謹?shù)谋硎?，歡迎自行參閱范疇論的相關材料。

下面正式開始闡述證明思路。

將對應定理用上述的術語翻譯一下的話，就是對象 $%5Coverline%7BH%7D$ 與 $%5Coverline%7BgN%7D$ 之前存在同構（Isomorphism）。這個同構是范疇Set態(tài)射層面的同構，而不是群同構。因此，一定要注意區(qū)分這個范疇Set中的同構，與這兩個對象中對應元素之間可能存在的群同構。這是讀者在閱讀這個定理的其他證明時很容易出現(xiàn)的問題。此外，這也意味著，群論中的種種關于同構的性質或判定的命題，都不能直接應用于這個證明。因此，要完成這個證明，只有根據(jù)態(tài)射同構的定義，在這兩個對象之間構造兩個態(tài)射α?、β?，并證明這兩個態(tài)射互為對方的逆（未接觸過范疇論的讀者，可以簡單類比函數(shù)與反函數(shù)的關系）。以上也就是這里證明這個定理的基本思路。在構造 $%5Calpha%3A%20%5Coverline%7BH%7D%5Crightarrow%20%5Coverline%7BgN%7D$ 時，有一個很便捷而自然的方式，那就是借助 $%5Coverline%7BH%2FN%7D$ ——即群G所有子群H在N上的商群H/N組成的對象——作為中介，構造兩個中間的態(tài)射，進而構造出所需的復合態(tài)射\alpha 。而在構造 $%5Cbeta%3A%20%5Coverline%7BgN%7D%5Crightarrow%20%5Coverline%7BH%7D$ 時，因為 $%5Coverline%7BgN%7D$ 本身知之甚少，因此只能在“群G/N子群”這一性質的基礎上構造一個態(tài)射，再證明在 $%5Coverline%7BgN%7D$ 中，任一子群關于這個態(tài)射的像（Image）都是群G的一個子群，即態(tài)射的目標（Target，未接觸過范疇論的同學可理解為值域）為對象 $%5Coverline%7BH%7D$ 。以上就是這里的證明在構造這兩個函數(shù)上的基本思路。