一、整體難度及感受

1、難度上就是要算，必須自己動手算；

2、一些小結(jié)論要有意識的記一下；

3、記不住的話得知道是如何推導(dǎo)的.（例如：本節(jié)第3題要證的一個定積分，要用到三角函數(shù)有理式的不定積分，設(shè)u=tan(x/2),則cosx=(1-u^2)/(1+u^2);sinx=2u/(1+u^2),dx=2/(1+u^2)du.這個要知道，不要記錯，注意cosx和sinx的分母都是1+u^2，是加法，不要分子分母弄反了，特別是cosx）

二、需要掌握的一些小結(jié)論(小結(jié)論1-小結(jié)論5）

1、含e^x的不定積分（2個）以及定積分（2個，在[0,+∞]上）

2、兩個不定積分以及一個定積分的結(jié)論

3、升冪降次公式：

對于1+cosx=2[cos(x/2)]^2;1-cosx=2[sin(x/2)]^2，要會變形！

4、三角函數(shù)有理式的不定積分（要掌握）

設(shè)u=tan(x/2),

則cosx=(1-u^2)/(1+u^2);

sinx=2u/(1+u^2)；

dx=2/(1+u^2)du

5、一個反常積分的結(jié)論：ln(sinx)和ln(cosx)在[0,π/2]上的定積分值為-π*ln2/2.（證明使用到了區(qū)間再現(xiàn)，今年華東師大定積分考察到，具體習(xí)題請參考day28）

三、具體題目

1（鄭州大學(xué)）

思路：聯(lián)想到課本原型，本題相當于a取0，b取1.

做法：

先記f(x)，說明其在[0,1]上連續(xù)；

然后利用積分可交換次序；

再次驗證連續(xù)性，說明積分號和極限號可以交換順序.

復(fù)習(xí)：課本原型（數(shù)分下p184）還是要掌握清楚。

2（暨南大學(xué)）

思路：仍然是那個原型。

做法：觀察如何找到原函數(shù)，再利用夾逼性說明連續(xù)性；

接著使用累次積分可以交換順序；

觀察式子，觀察到ln(1/x)出現(xiàn)，做一次整體代換，便可以化成含e^x的在[0,+∞]上定積分，這是有公式的，可以直接出來；

最后再算一下一次積分即可。

復(fù)習(xí)：小結(jié)論1

3（同濟大學(xué)）

考察的小結(jié)論很多，這個結(jié)論再后續(xù)學(xué)習(xí)中可以用到該結(jié)論；而且本題其實是一道課本課后習(xí)題。

思路：a范圍分成三段，第一段在-1,0,1三點考察，第二段在（-1，1）上考察，最后一段就是剩下情況。

第一段中：計算I(0),I(1),I(-1)(會用到對數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)以及小結(jié)論3和小結(jié)論5）

第二段中：記一下被積函數(shù)為f(x,a)；f(x,a),fa(x,a)在[0,π]?(-1,1)上連續(xù)，計算I'(a)（過程涉及湊的技巧以及小結(jié)論2，如果小結(jié)論2不知道需要會小結(jié)論4來推導(dǎo)，注意a范圍以及絕對值開出來的正負號問題，不注意可能會出錯）,得到導(dǎo)數(shù)值為0，說明原函數(shù)是常數(shù)，再利用(-1,1)上連續(xù)，得到了I（a)=I（0）=0，a∈(-1,1)

第三段中：利用第二段結(jié)論，有|1/a|<1，0=ln(1/a),代入，利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得到I（a）=2π*ln|a|.

最后總結(jié)一下：a∈[-1,1]與其他范圍的積分情況即可。