瓜豆原理，又名朋成原理，指若兩動點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同。
瓜豆原理是主從聯(lián)動軌跡問題。主動點(diǎn)叫做瓜，從動點(diǎn)叫做豆，例如：瓜在直線上運(yùn)動，豆的運(yùn)動軌跡也是直線。瓜在圓周上運(yùn)動，豆的運(yùn)動軌跡也是圓。
先來第一部分，直線與點(diǎn)（角）

如圖所示：A為定點(diǎn)，B為主動點(diǎn)，其他字母均為從動點(diǎn)，AF是旋轉(zhuǎn)α角后的圖形，AH是旋轉(zhuǎn)60°后的圖形，AJ是旋轉(zhuǎn)90°后的圖形
M為AB中點(diǎn)，K為AB上一分點(diǎn)
由瓜豆原理可得，EFGHIJKM的運(yùn)動軌跡均為直線，且MK軌跡為平行于B軌跡的直線，其余點(diǎn)的軌跡與B的軌跡夾角為旋轉(zhuǎn)角
第二部分，圓與點(diǎn)（角）

如上圖所示：A為定點(diǎn)，B為主動點(diǎn)，其他字母均為從動點(diǎn)，AC是旋轉(zhuǎn)α角后的圖形，AE是旋轉(zhuǎn)60°后的圖形，AG是旋轉(zhuǎn)90°后的圖形
M為AB中點(diǎn)，K為AB上一分點(diǎn)
由瓜豆原理可得，CDEFGHKM的運(yùn)動軌跡均為圓，且CEG軌跡與B軌跡等大，其余點(diǎn)的軌跡與B的軌跡比值為線段長度比值，另：圓心仍然符合其余點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)縮放規(guī)律
第三部分，其他圖形與點(diǎn)（角）

如上兩張圖所示：A為定點(diǎn)，B為主動點(diǎn)，其他字母均為從動點(diǎn)，AC是旋轉(zhuǎn)α角后的圖形，AE是旋轉(zhuǎn)60°后的圖形，AG是旋轉(zhuǎn)90°后的圖形
M為AB中點(diǎn)，K為AB上一分點(diǎn)
由瓜豆原理可得，CDEFGHKM的運(yùn)動軌跡均與B軌跡“相似”，且CEG軌跡與B軌跡等大，其余點(diǎn)的軌跡與B的軌跡大小長度比值為線段長度比值

下面是證明部分：

網(wǎng)上的主流證法是相似和復(fù)數(shù)，今天獨(dú)辟蹊徑，考慮用參數(shù)方程解決問題

證明瓜豆原理，可以分為兩步：

1、證明線段上一分點(diǎn)滿足

2、證明旋轉(zhuǎn)任意角度滿足

給出題目：

首先，這個圖形一定可以通過變換滿足B在X軸上，所以就不多說了

在這里可以構(gòu)造一個一線三等角模型，易知全等，就不再贅述

下面是對各線段長度的表示和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

最后所得出的式子通過移軸轉(zhuǎn)軸公式易得（即平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸）

容易發(fā)現(xiàn)，這一點(diǎn)與全等時所得到的結(jié)論是完全一樣的，并且C軌跡與A軌跡全等

瓜豆原理中旋轉(zhuǎn)部分已經(jīng)證明了，那么再來證縮放部分（或是定比例內(nèi)點(diǎn)），給出題目：

縮放的圖忘畫了，在這里說明一下，一切變換可由題目讀出

運(yùn)用與上次一樣的方法，如下

并且縮放比例一定，對應(yīng)點(diǎn)成縮放對應(yīng)（其實(shí)就是位似）

自此，所有瓜豆原理的證明都已結(jié)束，希望各位同學(xué)們能反復(fù)思考琢磨