拓端tecdat|R語言極值理論EVT：基于GPD模型的火災(zāi)損失分布分析
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極值理論關(guān)注風(fēng)險損失分布的尾部特征,通常用來分析概率罕見的事件,它可以依靠少量樣本數(shù)據(jù),在總體分布未知的情況下,得到總體分布中極值的變化情況,具有超越樣本數(shù)據(jù)的估計能力。因此,基于GPD(generalized pareto distribution)分布的模型可更有效地利用有限的巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)信息,從而成為極值理論當(dāng)前的主流技術(shù)。
針對巨災(zāi)發(fā)生頻率低、損失高、數(shù)據(jù)不足且具有厚尾性等特點,利用GPD模型對火災(zāi)經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計建模;并對形狀參數(shù)及尺度參數(shù)進(jìn)行了估計。模型檢驗表明,GPD模型對巨災(zāi)風(fēng)險厚尾特點具有較好的擬合效果和擬合精度,為巨災(zāi)風(fēng)險估計的建模及巨災(zāi)債券的定價提供了理論依據(jù)。
火災(zāi)損失數(shù)據(jù)
本文使用的數(shù)據(jù)是在再保險公司收集的，包括1980年至1990年期間的2167起火災(zāi)損失。已對通貨膨脹進(jìn)行了調(diào)整?？偹髻r額已分為建筑物損失、利潤損失。
base1=read.table( "dataunivar.txt",header=TRUE)base2=read.table( "datamultiva.txt",header=TRUE)
考慮第一個數(shù)據(jù)集（到目前為止，我們處理的是單變量極值），
> D=as.Date(as.character(base1$Date),"%m/%d/%Y")> plot(D,X,type="h")
圖表如下：
然后一個自然的想法是可視化
例如
> plot(log(Xs),log((n:1)/(n+1)))
線性回歸
這里的點在一條直線上。斜率可以通過線性回歸得到，
lm(formula = Y ~ X, data = B)lm(Y~X,data=B[(n-500):n,])lm(formula = Y ~ X, data = B[(n - 100):n, ])
重尾分布
這里的斜率與分布的尾部指數(shù)有關(guān)。考慮一些重尾分布
由于自然估計量是階次統(tǒng)計量，因此直線的斜率與尾部指數(shù)相反?
. 斜率的估計值為（僅考慮最大的觀測值）
希爾估算量
希爾估算量基于以下假設(shè)：上面的分母幾乎為1（即等于）。
那么可以得到收斂性假設(shè)。進(jìn)一步
基于這個（漸近）分布，可以得到一個（漸近）置信區(qū)間?
> xi=1/(1:n)*cumsum(logXs)-logXs> xise=1.96/sqrt(1:n)*xi> polygon(c(1:n,n:1),c(xi+xise,rev(xi-xise)),
增量方法
與之類似（同樣還有關(guān)于收斂速度的附加假設(shè)）?
（使用增量方法獲得）。同樣，我們可以使用該結(jié)果得出（漸近）置信區(qū)間
> alphase=1.96/sqrt(1:n)/xi> polygon(c(1:n,n:1),c(alpha+alphase,rev(alpha-alphase)),
Deckers-einmal-de-Haan估計量
然后（再次考慮收斂速度的條件，即），
Pickands估計
?由于?
,
代碼
> xi=1/log(2)*log( (Xs[seq(1,length=trunc(n/4),by=1)]-+ Xs[seq(2,length=trunc(n/4),by=2)])/> xise=1.96/sqrt(seq(1,length=trunc(n/4),by=1))*+sqrt( xi^2*(2^(xi+1)+1)/((2*(2^xi-1)*log(2))^2))> polygon(c(seq(1,length=trunc(n/4),by=1),rev(seq(1,
擬合GPD分布
也可以使用最大似然方法來擬合高閾值上的GPD分布。
> gpd$n[1] 2167$threshold[1] 5$p.less.thresh[1] 0.8827873$n.exceed[1] 254$method[1] "ml"$par.estsxi ? ? ?beta0.6320499 3.8074817$par.sesxi ? ? ?beta0.1117143 0.4637270$varcov[,1] ? ? ? ?[,2][1,] ?0.01248007 -0.03203283[2,] -0.03203283 ?0.21504269$information[1] "observed"$converged[1] 0$nllh.final[1] 754.1115attr(,"class")[1] "gpd"
或等效地
> gpd.fit$threshold[1] 5$nexc[1] 254$conv[1] 0$nllh[1] 754.1115$mle[1] 3.8078632 0.6315749$rate[1] 0.1172127$se[1] 0.4636270 0.1116136
它可以可視化尾部指數(shù)的輪廓似然性，
> gpd.prof
或者
> gpd.prof
因此，可以繪制尾指數(shù)的最大似然估計量，作為閾值的函數(shù)（包括置信區(qū)間），
Vectorize(function(u){gpd(X,u)$par.ests[1]})plot(u,XI,ylim=c(0,2))segments(u,XI-1.96*XIS,u,XI+
最后，可以使用塊極大值技術(shù)。
gev.fit$conv[1] 0$nllh[1] 3392.418$mle[1] 1.4833484 0.5930190 0.9168128$se[1] 0.01507776 0.01866719 0.03035380
尾部指數(shù)的估計值是在這里最后一個系數(shù)。
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