2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)解析幾何大題的地階作法與天階解答
高考數(shù)學(xué)中的解析幾何大題、導(dǎo)數(shù)大題往往不僅僅只有一種方法可以攻克，一般而言至少有兩種作法，下面我們就來看一下2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)解析幾何大題的兩種作法。
（2023 乙卷理科）解析幾何：已知曲線C的方程為，離心率為
，曲線過點A
。
⑴求曲線C的方程；
⑵過點的直線交曲線C于P,Q兩點，直線AP，AQ與y 軸交于M，N兩點，證明：線段MN的中點是定點。
解：如圖所示：⑴由離心率為得：
?①
?
又由曲線過A得：
②
再有?
③
聯(lián)立①②③解得
,
,
故曲線C的方程為
④
⑵設(shè)P的坐標為,Q的坐標為
?,M的坐標為
,N的坐標為
MN的中點記為T
?對A和P應(yīng)用“截距坐標公式”得：
同理可得：
從而由“中點坐標公式”得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
設(shè)過點的直線方程為
⑤
接下來的解題有以下兩種選擇：
方法一（地階作法）：
聯(lián)立④⑤得：
由韋達定理得：
,
于是
將兩根之和和兩根之積帶入得：
因為為定值
所以MN的中點為定點
從而命題得證。
方法二（天階作法）：
對④進行恒等變換：
?
得:
⑥
對⑤進行恒等變換得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
將帶入⑥中進行齊次處理得：
⑧
對⑧進行化簡整理得：
⑨
對⑨進行恒等變換得：
由韋達定理得：
可知
因而MN的中點為定點
從而命題得證。
評價與思考：此題的地階作法經(jīng)典常規(guī)，計算量較大，容易出錯，是為多數(shù)同學(xué)熟知的方法；而天階作法看起來步驟較多，其實其作法巧妙靈活，出人意料，技巧性強，但是對大部分同學(xué)來說并不了解或者精通其變換處理的技巧。要想徹底掌握這兩種方法，還需要多加練習(xí)，總結(jié)，斟酌與思考！
