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惡補(bǔ)基本功-本科代數(shù)-第一章，1-2節(jié)

2021-07-09 23:03 作者:子燁紫冶籽 0人讀過(guò) | 我要投稿

書(shū)是2005年的Undergraduate Algebra 3rd Edition，作者是Serge Lang，Springer出版社

首先要把集給搞清楚：

一個(gè)物件(Objects)的集合，就叫集(Sets)，集的成員叫元素(Element)

打個(gè)比方，我們?nèi)绻f(shuō)Z是整數(shù)的集合，也就是 $Z%3D%5C%7B0%2C%20%5Cpm%201%2C%20%5Cpm2%2C%5Cpm3%2C...%5C%7D$ ，我們可以說(shuō)整數(shù)x是Z的元素，也可以說(shuō) $x%5Cin%20Z$

假設(shè)有兩個(gè)集，S和S'，而S'的每一個(gè)元素都是S的元素，那么我們可以說(shuō)S'是S的一個(gè)子集(Subset)，打個(gè)比方，S是所有整數(shù)，S'是所有正/負(fù)整數(shù)，我們可以說(shuō)S'是S的正子集(proper subset)，但不能簡(jiǎn)單地說(shuō)S'=S，也就是 $S'%5Csubset%20S$

然后，我們有兩個(gè)集， $S_%7B1%7D$ 和 $S_%7B2%7D$ ，這兩者的交集(intersection)就是 $S_%7B1%7D%5Ccap%20S_%7B2%7D$ ，兩者都有的，就是其子集。打個(gè)比方：

$S_%7B1%7D%3D%5C%7B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C...%2C%20%5Cinfty%20%5C%7D%5C%5CS_%7B2%7D%20%3D%20%5C%7B-%5Cinfty%2C%20...%2C-1%2C0%2C1%5C%7D%5C%5CS_%7B1%7D%5Ccap%20S_%7B2%7D%3D%5C%7B1%5C%7D$

最后， $S_%7B1%7D$ 和 $S_%7B2%7D$ 的并集就是 $S_%7B1%7D%5Ccup%20S_%7B2%7D$ ，只要在其中一個(gè)集存在的，就能算其子集。以上面那個(gè)例子的話， $S_%7B1%7D%5Ccup%20S_%7B2%7D%3D%5C%7B-%5Cinfty%2C..%2C-1%2C0%2C1%2C...%2C%2B%5Cinfty%5C%7D$

然后，如果一個(gè)集里面，一個(gè)元素都沒(méi)有，那就是空集。打個(gè)比方，如果A集是所有大于0的奇數(shù)，B集是所有大于0的偶數(shù)，那么A和B的交集就是一個(gè)空集。

還有個(gè) $A%5Ctimes%20B%3D%5C%7B(a_%7B1%7D%2Cb_%7B1%7D)%2C(a_%7B2%7D%2C%20b_%7B1%7D)%2C...%2C(a_%7B2%7D%2Cb_%7B2%7D)%2C(a_%7B2%7D%2Cb_%7B2%7D)%2C...%2C(a_%7Bn%7D%2Cb_%7Bm%7D)%5C%7D%20%2C%5C%5C%5C%23A%3Dn%20%2C%20%5C%23B%3Dm$

這個(gè)＃的意思是，集的元素?cái)?shù)量，打個(gè)比方，S={1,2,3}，那么#S=3。

接著是基本性質(zhì)引申出的well-ordering axiom（所謂的良序定理）。

所有非空的，大于等于零的整數(shù)集，都有至少一個(gè)元素(Every non-empty set of integers >= 0 has a least element)，也就是說(shuō)，如果S是一個(gè)非空的，大于等于零的整數(shù)集，那么作為S的元素n，在S里面會(huì)有一個(gè)大于等于n的元素。

根據(jù)以上的定理，我們?cè)龠M(jìn)行第一步推導(dǎo)，對(duì)于每個(gè)大于1的n，我們斷言為A(n)，由此延申出兩個(gè)性質(zhì)：

A(1)成立
每一個(gè)大于等于1的n，如果A(n)為實(shí)，那么A(n+1)也成立。

所以，每一個(gè)大于等于1的n，A(n)的斷言為實(shí)。

這個(gè)推導(dǎo)的論證：

我們假設(shè)S是正整數(shù)的集，并假設(shè)里面有個(gè)n使得A(n)不成立，我們需要證明S是空集。

根據(jù)良序定理，一定存在一個(gè)最小的元素 $n_%7B0%7D$ ，我們已經(jīng)假設(shè) $n_%7B0%7D%5Cneq1$ ，所以 $n_%7B0%7D%5Cgt1$ ，既然 $n_%7B0%7D$ 是最小的元素，也就是說(shuō) $n_%7B0%7D-1$ 不存在于S里。這樣的話 $A(n_%7B0%7D-1)$ 成立。結(jié)合上面第二個(gè)特征， $A(n_%7B0%7D)$ 也成立，因?yàn)?/p>

$n_%7B0%7D%3D(n_%7B0%7D-1)%2B1$

這樣就矛盾了，所以反過(guò)來(lái)證明了第一步推導(dǎo)。

另外一個(gè)例子：我們想證明，當(dāng)n大于等于1的時(shí)候，

$A(n)%3A1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D$

n等于1的時(shí)候，A必定成立，假設(shè)我們的等式在n大于1的時(shí)候成立，這樣的話：

$1%2B...%2Bn%2B(n%2B1)%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D%2B(n%2B1)%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%2B2(n%2B1)%7D%7B2%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bn%5E%7B2%7D%2Bn%2B2n%2B2%7D%7B2%7D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B(n%2B1)(n%2B2)%7D%7B2%7D$

也就是說(shuō)，我們證明了A，也證明了A(n+1)，所以我們可以總結(jié)，當(dāng)n為大于等于1的整數(shù)時(shí)，A(n)成立。

接著就是第二次推導(dǎo)。假設(shè)每一個(gè)大于等于0的整數(shù)為n，我們因此推斷為A(n)，這樣我們可以證實(shí)這兩個(gè)特性：

A(0)成立
所以大于0的整數(shù)n，如果每一個(gè)大于等于0，但小于n的整數(shù)k，那么當(dāng)每一個(gè)A(k)成立后，A(n)也成立。

論證方法：讓S是一組整數(shù)，0和大于0的整數(shù)，并假設(shè)A不成立。S不是空集，讓 $n_%7B0%7D$ 是S中最小的，根據(jù)（1）的假設(shè)，既然 $n_%7B0%7D$ 必須最小并使A不成立，所以 $n_%7B0%7D%5Cneq0$ （因?yàn)橐獫M足 $0%5Cleq%20k%20%5Clt%20n_%7B0%7D$ ）。這樣的話根據(jù)（2）的假設(shè)，就會(huì)產(chǎn)生矛盾。既然A不成立衍生出矛盾，那么A成立。

具體例子：以歐幾里得算法(Euclidean algorithm)

理論：讓m,n是整數(shù)，m大于0，這樣就會(huì)存在整數(shù)q和r，而 $0%5Cleq%20r%5Clt%20m$ ，使得

$n%3Dqm%2Br$

論證：

根據(jù)理論，任意的q將使得 $qm%5Cleq%20n$ ，重新排序的話，其最大的元素q將滿足

$qm%5Cleq%20n%5Clt%20(q%2B1)m%3Dqm%2Bm$

（左邊那個(gè)是當(dāng)r為0，右邊那個(gè)是r為m，因?yàn)閞小于m，所以n會(huì)在這兩種可能性之間。）

也就是說(shuō)

$0%5Cleq%20n-qm%20%5Clt%20m$

讓 $r%3Dn-qm$ ，所以 $0%5Cleq%20r%5Clt%20m$ ，這就證明q和r存在。

第二不要論證其唯一性，假設(shè)：

$n%3Dq_%7B1%7Dm%2Br_%7B1%7D%2C%200%5Cleq%20r_%7B1%7D%5Clt%20m%5C%5C%20n%3Dq_%7B2%7Dm%2Br_%7B2%7D%2C%200%5Cleq%20r_%7B2%7D%5Clt%20m$

但是 $r_%7B1%7D$ 和 $r_%7B2%7D$ 不等，讓 $r_%7B1%7D%20%5Clt%20r_%7B2%7D$ ，也就是說(shuō)

$(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%3Dr_%7B2%7D-r_%7B1%7D$

但是， $r_%7B2%7D-r_%7B1%7D%3Cm$ ，而且 $r_%7B2%7D-r_%7B1%7D%3E0$ ，這樣是不可能的，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=q_%7B1%7D-q_%7B2%7D" alt="q_%7B1%7D-q_%7B2%7D">是整數(shù)，如果 $(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%5Cgt%200$ ，就導(dǎo)致 $(q_%7B1%7D-q_%7B2%7D)m%5Cgeq%20m$ ，所以當(dāng) $q_%7B1%7D%3Dq_%7B2%7D$ 時(shí)， $q_%7B1%7Dm%3Dq_%7B2%7Dm$ 。