一個姑且比較容易分析的貨幣模型

2023-09-10 11:23 作者:露保協(xié) 0人讀過 | 我要投稿

目的是用一個能手操的隨機模型（大概算是個改版new Keynesian）來解釋擴張性貨幣政策的影響，特別是對于金融市場的影響（這點見得比較少）。模型還是competitive equilibrium（傳統(tǒng)的什么什么曲線這種老古董就別整了，CE比較偏向于復(fù)雜系統(tǒng)視角下公理化的建模methodology，邏輯上靠譜得多，數(shù)學(xué)物理背景出身的人看著也舒服得多），在里面加入兩個關(guān)鍵要素：cash-in-advance constraint（用于引入liquidity friction，從而賦予貨幣價值）以及segmented market（僅有部分消費者能夠接觸金融市場，這部分人在擴張性貨幣政策下?lián)碛懈鄉(xiāng)iquidity，并且可以insured against risk）。本身沒有什么稀奇的，只不過作為一個小練習(xí)，得出的結(jié)果和empirical的那套經(jīng)典故事是吻合的。因為引入了特殊的效用形式和參數(shù)限制，不用數(shù)值模擬也有手動操作的空間，可以加深一下對建模的理解。

首先，關(guān)于擴張性貨幣政策的影響，empirical evidence大致上包括以下幾點：

投資上升
aggregate consumption上升，output上升（也就是平時所說的“刺激性”）
non-wage income的比例上升，wage income的比例下降（所謂的redistributive effect）
asset market中價格（如stock valuations）上升，利率、return、股權(quán)溢價下降
VIX指數(shù)下降
接觸金融市場部分消費者消費的波動性下降

傳統(tǒng)的故事（aggregate demand channel）是這樣的：利率下降->消費上升->aggregate demand上升->雇傭，產(chǎn)出上升。能解釋一部分。不過傳統(tǒng)的新凱恩斯模型對于高階項的分析是缺失的（比如equity premia，各種variance/volatility，包括VIX，消費的漲落等等），并且有一些和empirical evidence矛盾的地方，特別是aggregate Euler equation要求expected consumption growth rate和real rate是正相關(guān)的，但這和empirical evidence不符合（稱為Canzoneri critism）。我們在現(xiàn)在這個模型里補足一下這部分缺失，并且化解矛盾?？偟膩碚f，高階項通過簡化成analytically tractable的模型的Taylor展開來完成，而矛盾點的解決關(guān)鍵在于把傳統(tǒng)的貨幣政策起作用的aggregate demand channel轉(zhuǎn)移到redistribution channel。

下文中，我們首先給出模型中各類節(jié)點的設(shè)定，然后pin down整個模型，并進行理論分析。

Workers節(jié)點的設(shè)定

我們在模型中把測度為1的總household區(qū)分為兩類，一類無法接觸asset market，另一類則可以接觸。為了方便起見，我們把第一類設(shè)定為labor的提供者，稱之為workers，測度為 $1-%5Clambda$ ；第二類設(shè)定為capital的提供者，并且持有“下層公司”（定義見下文），稱之為capitalists，測度為 $%5Clambda$ 。（這里要注意了，單節(jié)點轉(zhuǎn)換到整體系統(tǒng)的時候要乘以一個測度）

Workers節(jié)點有1單位的時間，分配給labor（ $N_t$ ）與leisure（ $1-N_t$ ），面對著普通的nominal budget constraint：

$P_tC_t%5EW%2BM_t%5EW%5Cleqslant%20W_tN_t%5EW-T_t%5EW%2BM_%7Bt-1%7D%5EW$

以及cash-in-advance constraint：（注意，這里我們設(shè)定為交稅時間早于goods market的開放，只是為了清楚起見提一句，沒有實質(zhì)性影響）

$P_tC_t%5EW%5Cleqslant%20M_%7Bt-1%7D%5EW-T_t%5EW$

在全文中，我們都假定有各種類似Inada條件的正則性條件保證所有constraint均為binding，方便干活。至于具體什么正則性條件就懶得管了，總之假設(shè)統(tǒng)統(tǒng)滿足就完事了。

Worker節(jié)點的最優(yōu)化問題，就是在上述兩個條件下最大化（該類節(jié)點無法接觸bonds，不存在 $B_t$ ）：

$%5Cmax%5Climits_%7BC_t%5EW%2CN_t%5EW%2CM_t%5EW%7D%5Cmathbb%7BE%7D_0%5Csum%5Climits_%7Bt%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cbeta%5Et%20U%5EW(C_t%5EW%2CN_t%5EW)$

因為我們需要研究金融市場這種隨機環(huán)境，所以注意帶上期望值。

讓整個模型analytically tractable的關(guān)鍵就在于workers節(jié)點的特殊設(shè)置：我們把它們的效用函數(shù)取為以下形式：

$U%5EW(C_t%5EW%2CN_t%5EW)%3D%5Cln%20C_t%5EW-%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B1%2B%5Cvarphi%7D(N_t%5EW)%5E%7B1%2B%5Cvarphi%7D%2C%5Ctheta%5Cleqslant%20%5Cbeta$

$%5Ctheta$ 足夠小是為了盡量降低工作的disutility，把labor向上拉到1，方便后續(xù)的分析。要不然手算就寄了。

再做一個簡化假設(shè)：全文中，除非特殊提到，否則設(shè)定所有l(wèi)ump-sum tax為0。

Bellman方程給出：

$V(M_%7Bt-1%7D%5EW)%3D%5Cmax%5Climits_%7BM_t%5EW%7D%5Cleft%5BU%5EW%5Cleft(%5Cfrac%7BM_%7Bt-1%7D%5EW%7D%7BP_t%7D%2C%5Cfrac%7BM_t%5EW%7D%7BW_t%7D%5Cright)%2B%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_tV(M_t%5EW)%5Cright%5D$

通過FOC+envelope theorem聯(lián)立來提取信息，得到Euler方程：

$U_N%5EW(C_t%5EW%2CN_t%5EW)%2B%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_t%5Cleft%5B%5Cfrac%7BW_t%7D%7BP_%7Bt%2B1%7D%7DU_C%5EW(C_%7Bt%2B1%7D%5EW%2CN_%7Bt%2B1%7D%5EW)%5Cright%5D%3D0$

代入具體的效用函數(shù)形式，Euler方程被大大簡化為：

$(N_t%5EW)%5E%7B1%2B%5Cvarphi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B%5Ctheta%7D%5Cgeqslant%201$

所以我們可以fully characterize workers' behavior：

$N_t%5EW%3D1%2CC_t%5EW%3D%5Cfrac%7BM_%7Bt-1%7D%5EW%7D%7BP_t%7D%2CM_t%3DW_t$

這讓我們之后的分析大大簡化，要不然能算死個人。

Capitalist節(jié)點的設(shè)定

我們設(shè)定capitalist節(jié)點為：能夠接觸金融市場（即購買bonds），出租資本（按照neoclassical growth model的設(shè)定，同樣有對應(yīng)的投資與depreciation），并且享有上層公司的紅利。同樣，為了清晰起見，設(shè)定asset market的開放要早于goods market。最優(yōu)化問題為：

$%5Cmax%5Climits_%7BC_t%5EC%2CK_t%2CI_t%2CB_t%2CM_t%7D%5Cmathbb%7BE%7D_0%5Csum%5Climits_%7Bt%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cbeta%5Et%20U%5EC(C_t%5EC)$

subject to

$P_t(C_t%5EC%2BI_t)%2B(M_t%5EC-M_%7Bt-1%7D%5EC)%2BT_t%5EC%2BQ_tB_t%5Cleqslant%20B_%7Bt-1%7D%2BP_t(%5Ctext%7BPr%7D_t%2BR_t%5EkK_%7Bt-1%7D)$

$P_t(C_t%5EC%2BI_t)%5Cleqslant%20M_%7Bt-1%7D%5EC%2BB_%7Bt-1%7D-Q_tB_t-T_t%5EC$

$K_t%3D(1-%5Cdelta)K_%7Bt-1%7D%2BI_t$

在去掉稅的情況下，Bellman方程為：

$V(K_%7Bt-1%7D%2CB_%7Bt-1%7D%2CM_%7Bt-1%7D%5EC)%3D%5Cmax%5Climits_%7BB_t%2CK_t%7D%5Cleft%5BU%5Cleft(%5Cfrac%7BM_%7Bt-1%7D%5EC%2BB_%7Bt-1%7D-Q_tB_t%7D%7BP_t%7D-K_t%2B(1-%5Cdelta)K_%7Bt-1%7D%5Cright)%2B%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_tV(K_t%2CB_t%2CP_t(%5Ctext%7BPr%7D_t%2BR_t%5EkK_%7Bt-1%7D))%5Cright%5D$

Euler方程給出關(guān)于bond購買的選擇以及關(guān)于capital投資的方程：

$U'(C_t%5EC)%5Cfrac%7BQ_t%7D%7BP_t%7D%3D%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_t%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BP_%7Bt%2B1%7D%7DU'(C_%7Bt%2B1%7D%5EC)%5Cright%5D$

$U'(C_t%5EC)%3D(1-%5Cdelta)%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_tU'(C_%7Bt%2B1%7D%5EC)%2B%5Cbeta%5E2%5Cmathbb%7BE%7D_t%5Cleft%5B%5Cfrac%7BP_%7Bt%2B1%7DR_%7Bt%2B1%7D%5Ek%7D%7BP_%7Bt%2B2%7D%7DU'(C_%7Bt%2B2%7D%5EC)%5Cright%5D$

雖然我們還是給capitalist設(shè)定一個特殊的效用函數(shù)形式，不過Euler方程沒法像workers節(jié)點一樣直接解出簡單的結(jié)果了，所以姑且先把兩個Euler方程擱置著。效用函數(shù)設(shè)定為：

$U%5EC(C_t%5EC)%3D%5Cfrac%7B(C_t%5EC)%5E%7B1-%5Cgamma%7D%7D%7B1-%5Cgamma%7D%2C%5Cgamma%3E1$

下層公司節(jié)點的設(shè)定

我們把公司設(shè)定成一個雙層的結(jié)構(gòu)：上層為測度1的一群壟斷性競爭的公司（用下標(biāo) $i$ 表示），雇傭勞動力與資本，產(chǎn)出不同的intermediate varieties（差異化的中間產(chǎn)品），擁有自主定價權(quán)，利潤歸于capitalists節(jié)點。下層是一個統(tǒng)合性質(zhì)的公司，購入各種varieties，將其加工成最終的產(chǎn)品并出售。這個統(tǒng)合過程的生產(chǎn)函數(shù)為常替代彈性的生產(chǎn)函數(shù)：

$Y_t%3D%5Cleft%5B%5Cint%20y_t(i)%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t-1%7D%7B%5Cepsilon_t%7D%7Ddi%5Cright%5D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%7D%2C%5Cepsilon_t%3E1$

我們假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)有波動，導(dǎo)致 $%5Cepsilon_t$ 是一個隨機過程，這個隨機過程設(shè)定為：

$%5CPhi_t%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%3D%5Cexp(%5Cbar%7B%5Cphi%7D%2B%5Csigma%5Ceta_t)$

其中 $%5Csigma$ 是刻畫漲落幅度的小量，用于后續(xù)的Taylor展開。 $%5Ceta_t$ 是一個i.i.d.的隨機變量序列，比如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，設(shè)定其期望為0，方差為1。嚴(yán)格來說， $%5Ceta_t$ 的支集不能是整個R，不過我們不關(guān)心它長啥樣就是了，到時候按sigma展開后就是一階矩二階矩這些玩意兒還留著。

我們首先來看下層公司的最優(yōu)化問題。

Step1.預(yù)定最終產(chǎn)量 $Y_t$ ，如何購入intermediate varieties $y_t(i)$ ，使得成本最低？即：

$%5Cmin%5Climits_%7By_t(i)%7D%5Cint%20y_t(i)p_t(i)di%20%5Ctext%7B%20s.t.%20%7D%5Cleft%5B%5Cint%20y_t(i)%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t-1%7D%7B%5Cepsilon_t%7D%7Ddi%5Cright%5D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%7D%3DY_t$

這是個普通的static問題，求解出的結(jié)果為：

$y_t(i)%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bp_t(i)%7D%7B%5Cleft(%5Cint%20p_t(i)%5E%7B1-%5Cepsilon_t%7Ddi%5Cright)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Cepsilon_t%7D%7D%7D%5Cright%5D%5E%7B-%5Cepsilon_t%7DY_t$

很直觀，中間產(chǎn)品價格越高，我就少買一點，把這部分錢用于買價格更低的中間產(chǎn)品。

Step2.確定最優(yōu)的最終產(chǎn)量。下層公司的凈利潤為

$P_tY_t-Y_t%5Cleft(%5Cint%20p_t(i)%5E%7B1-%5Cepsilon_t%7Ddi%5Cright)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Cepsilon_t%7D%7D$

這么一看，不對勁了——沒有最優(yōu)產(chǎn)量這種說法。不過，假如凈利潤為正數(shù)，會有其他公司進入市場；若為負(fù)數(shù)，則這個公司也會推出市場。所以，雖然沒有了產(chǎn)量最優(yōu)化的限制條件，但我們得到了一個額外的限制條件：

$P_t%3D%5Cleft(%5Cint%20p_t(i)%5E%7B1-%5Cepsilon_t%7Ddi%5Cright)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B1-%5Cepsilon_t%7D%7D$

所以很好，對于pin down模型并沒有影響。

上層公司節(jié)點的設(shè)定

上層公司雇傭勞動力，租用資本，并且擁有定價權(quán)。其生產(chǎn)函數(shù)設(shè)定為constant returns to scale：

$y_t(i)%3DAk_%7Bt-1%7D(i)%5E%5Calpha%20n_t(i)%5E%7B1-%5Calpha%7D$

Step1.給定產(chǎn)出目標(biāo) $y_t(i)$ ，如何最小化成本？

這是個普通的最優(yōu)化問題，我們直接給出結(jié)果：

$k_%7Bt-1%7D(i)%3D%5Cfrac%7By_t(i)%7D%7BA%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B1-%5Calpha%7D%5Cfrac%7BW_t%7D%7BP_tR_t%5Ek%7D%5Cright)%5E%7B1-%5Calpha%7D%2Cn_t(i)%3D%5Cfrac%7By_t(i)%7D%7BA%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B1-%5Calpha%7D%7B%5Calpha%7D%5Cfrac%7BP_tR_t%5Ek%7D%7BW_t%7D%5Cright)%5E%5Calpha$

Step2.如何定下價格，使得凈收益最高？

這也是個普通的最優(yōu)化問題，我們直接給出結(jié)果：

$p_t(i)%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%5Cleft(%5Cfrac%7BP_tR_t%5Ek%7D%7B%5Calpha%7D%5Cright)%5E%5Calpha%5Cleft(%5Cfrac%7BW_t%7D%7B1-%5Calpha%7D%5Cright)%5E%7B1-%5Calpha%7D$

至此，上層公司的最優(yōu)化問題已經(jīng)解決。

在進入下一環(huán)節(jié)之前，我們先停下來看一眼。這里的上層公司定價是統(tǒng)一的，并沒有異質(zhì)性，所以之前得到的額外限制條件其實就變成了

$p_t(i)%3DP_t$

然后帶回最優(yōu)定價的結(jié)果，我們就得到這樣一個工資與資本租金之間的限制關(guān)系：

$P_t%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%5Cleft(%5Cfrac%7BP_tR_t%5Ek%7D%7B%5Calpha%7D%5Cright)%5E%5Calpha%5Cleft(%5Cfrac%7BW_t%7D%7B1-%5Calpha%7D%5Cright)%5E%7B1-%5Calpha%7D$

這個限制關(guān)系取代了公司側(cè)節(jié)點的最優(yōu)化限制，使得整體系統(tǒng)依然能夠pin down。所以我們可以松一口氣，不用因為下層公司沒有最優(yōu)化產(chǎn)量而擔(dān)心限制條件不足。

政府節(jié)點的設(shè)定

政府/央行通過公開市場操作，買回債券，以實行擴張性政策。其budget constraint為：

$M_t-M_%7Bt-1%7D%2B%5Clambda(Q_tB_t-B_%7Bt-1%7D)%2BT_t%3D0$

對于政府節(jié)點，和平常一樣，我們并不做最優(yōu)化，而是把稅收、債券、貨幣發(fā)行作為exogeneously given processes。因此，模型的pinning down依然不存在問題。

Market clear

最終，我們通過market clear來把整個模型pin down。

(1)Asset market。政府供應(yīng)的債券等于capitalist節(jié)點需求的債券。這里我們單純假定政府通過公開市場操作操控了特別的 $B_t$ 過程，導(dǎo)致債券價格按照負(fù)指數(shù)形式的既定軌道上升：

$%5Cln%20%5Cbeta-%5Cln%20Q_t%3D%5Crho%5Et(%5Cln%5Cbeta-%5Cln%20Q_0)$

注意這里Q是債券的價格，利率要取倒數(shù)，所以利率是在逐步下降的。 $Q_0$ 這個量就決定了這個擴張性貨幣政策的力度，越大說明刺激得越強。

(2)Labor market。勞動力的供給（即 $1-%5Clambda$ ）等于上層公司對勞動力的最優(yōu)化需求（即 $n_t(i)$ ）。把這個等式和之前工資與資本租金之間的限制關(guān)系相聯(lián)立，我們就得到：

$Y_t%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%5Cfrac%7B1-%5Clambda%7D%7B1-%5Calpha%7D%5Cfrac%7BW_t%7D%7BP_t%7D$

(3)Goods market?？偖a(chǎn)出=總消費+投資，即

$Y_t%3D%5Clambda(C_t%5EC%2BI_t)%2B(1-%5Clambda)C_t%5EW$

RHS是 $W_t%2CR_t%5Ek$ 的函數(shù)，把它和(2)中的式子聯(lián)立，就可以得到這兩個價格之間的一個關(guān)系。再用一次之前兩個價格的限制關(guān)系，就可以完全定下這個模型的價格系統(tǒng)，并且進而定下具體的allocation。至此，整個模型已然完備！可以通過數(shù)值模擬來完成求解了。

(4)Money。消費者的錢總量等于政府的發(fā)行量，由此得到quantity of money equation:

$M_t%3DP_tY_t$

這看起來倒是很傳統(tǒng)的一個等式，估計各種宏觀的教材里都玩這一套？沒讀過，不關(guān)心。

模型的進一步簡化與完全求解

雖然前面已經(jīng)加入了很多簡化條件，但為了讓我們手算的時候不會算暈，我們還是厚顏無恥地進一步做簡化：假設(shè)資本在生產(chǎn)中不起作用，從而 $%5Calpha%3D0$ ，資本的租金、投資也可以從模型中扣除。

此時，一方面，總產(chǎn)出是 $%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t%7D%7B%5Cepsilon_t-1%7D%5Cfrac%7BW_t%7D%7BP_t%7D(1-%5Clambda)$ ，另一方面，公司的生產(chǎn)純靠勞動力，最終產(chǎn)出為 $A(1-%5Clambda)$ （注意了，現(xiàn)在的簡化條件下，總產(chǎn)出是一個固定值，并不會隨著擴張性政策而變化）。為了簡化起見，取A=1，從而我們解出了唯一一個還未定的價格系統(tǒng)（資本租金不存在了，債券價格依照預(yù)定軌道走）：

$%5Cfrac%7BW_t%7D%7BP_t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_t-1%7D%7B%5Cepsilon_t%7D%3D%5CPhi_t$

（工資隨著生產(chǎn)側(cè)的漲落而漲落）

這樣就舒服了，價格系統(tǒng)基本完全定下來（ $P_t$ 在同一時間段內(nèi)可以作為numéraire，只有比例起作用。不過不同時間段內(nèi)， $P_t$ 的比例還是需要求解的！這個我們放到后面解），剩下的就是求解具體的allocation。首先來看貨幣的allocation。總的貨幣量為：

$M_t%3D(1-%5Clambda)P_t$

而workers節(jié)點（自身，不帶測度）的貨幣量依照自身的最優(yōu)化結(jié)果已經(jīng)知道為

$M_t%5EW%3DP_t%5CPhi_t$

那么剩下的就是capitalist節(jié)點的貨幣量了：

$M_t%5EC%3D%5Cfrac%7B1-%5Clambda%7D%7B%5Clambda%7DP_t(1-%5CPhi_t)$

好，現(xiàn)在貨幣的allocation也完全清楚了。剩下的只有消費的allocation。

總的消費和產(chǎn)出一樣，是 $1-%5Clambda$ 。Workers節(jié)點的消費（同樣是自身，不帶測度）前面已經(jīng)解出來了，是

$C_t%5EW%3D%5Cfrac%7BM_%7Bt-1%7D%5EW%7D%7BP_t%7D%3D%5Cfrac%7BP_%7Bt-1%7D%5CPhi_%7Bt-1%7D%7D%7BP_t%7D%3D%5Cfrac%7B%5CPhi_%7Bt-1%7D%7D%7BX_t%7D$

其中X_t刻畫價格系統(tǒng)的跨時段比例，也就是通脹，它是我們價格系統(tǒng)中當(dāng)前唯一一個缺失的量。

那么剩下的部分自然就是capitalists的消費：

$C_t%5EC%3D%5Cfrac%7B1-%5Clambda%7D%7B%5Clambda%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%7B%5CPhi_%7Bt-1%7D%7D%7BX_t%7D%5Cright)$

最后剩下的是 $P_t$ 隨著時間的變化，也就是 $X_t$ 這個量，只要它解出來，價格系統(tǒng)的同時段內(nèi)部與跨時段比例就完全清楚，而消費的allocation也完全清楚，系統(tǒng)就徹底解出來了！

為了求解X_t，我們回到capitalists關(guān)于bond選擇的Euler方程：

$Q_tU'(C_t%5EC)%3D%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_t%5Cfrac%7BU'(C_%7Bt%2B1%7D%5EC)%7D%7BX_%7Bt%2B1%7D%7D$

代入具體的效用函數(shù)形式，得到：

$Q_t%5Cleft(1-%5Cfrac%7B%5CPhi_%7Bt-1%7D%7D%7BX_t%7D%5Cright)%5E%7B-%5Cgamma%7D%3D%5Cbeta%5Cmathbb%7BE%7D_t%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BX_%7Bt%2B1%7D%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%7B%5CPhi_t%7D%7BX_%7Bt%2B1%7D%7D%5Cright)%5E%7B-%5Cgamma%7D%5Cright%5D$

有兩個隨機變量在這，看著煩。我們在等式兩邊同時取 $%5Cmathbb%7BE%7D_0$ ，把兩個隨機變量給integrate out，剩下的就是X之間的遞推關(guān)系了，舒服。再對于X線性化展開，就得到了線性遞推關(guān)系，可以解析求解。

具體來說，我們采用對數(shù)線性化，用小寫字母的變量表示對數(shù)，如 $x_t%3A%3D%5Cln%20X_t$ 。它是一個0附近的小量，可以展開到一階，得到一個線性遞推關(guān)系：

$x_t%2Bo(x_t)%3D%5Cfrac%7B1%2B(c-1)%5Cgamma%7D%7B%5Cgamma(c-1)%7Dx_%7Bt%2B1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cln%20Q_t-%5Cln%5Cbeta%7D%7B%5Cgamma(c-1)%7D%2Bo(x_%7Bt%2B1%7D)$

其中的常數(shù)c定義為

$c%3A%3D%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BE%7D(1-%5CPhi)%5E%7B-%5Cgamma-1%7D%7D%7B%5Cmathbb%7BE%7D(1-%5CPhi)%5E%7B-%5Cgamma%7D%7D%3E1$

根據(jù)這個遞推關(guān)系往后無窮遞推，得到x_t的具體表達式：

$x_t%3D%5Cfrac%7B%5Cln%20Q_t-%5Cln%5Cbeta%7D%7B%5Cgamma(c-1)(1-%5Crho)-%5Crho%7D$

可以看出，它是一個等比數(shù)列。至此，這個隨機系統(tǒng)已經(jīng)在一階近似下完全求解，撒花！剩下的就只是應(yīng)用這個解來獲取更多信息了。

擴張性貨幣政策的redistribution effect

得到了近似的解析解之后，最直接的一個應(yīng)用就是瞧一瞧擴張性政策(Q)對于消費的影響。

對于更大的Q（即更大的擴張性刺激），我們看到x_t也更大（對于不太大的\rho來說），從而worker節(jié)點的消費量下降，capitalist節(jié)點的消費量上升，總量不變。這說明擴張性的政策導(dǎo)致了重分配，實際上相當(dāng)于給capitalist節(jié)點注入了更多l(xiāng)iquidity，使之需求更高；同時，直觀上來說，既然注入了更多l(xiāng)iquidity，它們也就獲得了更大的insurance against the markup fluctuations，導(dǎo)致消費的漲落/volatility更低。下一小節(jié)來嚴(yán)格分析這一點。

擴張性貨幣政策對消費波動性的影響

我們現(xiàn)在想要分析擴張性貨幣政策對于capitalist consumption的影響。和前面一樣，我們還是考慮取對數(shù)之后的形式。把capitalist consumption這個隨機變量關(guān)于小量 $%5Csigma$ 展開到一階：

$c_t%5EC%3D%5Cln%5Cfrac%7B1-%5Clambda%7D%7B%5Clambda%7D%2B%5Cln(1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D%2B%5Csigma%5Ceta_%7Bt-1%7D-x_t%7D)%3D%5Cln%5Cfrac%7B1-%5Clambda%7D%7B%5Clambda%7D%2B%5Cln(1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D)-%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%5Csigma%5Ceta_%7Bt-1%7D%2Bo(%5Csigma)$

從而其方差為 $%5Csigma%5E2%5Cleft(%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%5Cright)%5E2%2Bo(%5Csigma%5E2)$ ，它隨著Q的上升而減小。所以我們之前的直覺是對的，隨著擴張性政策給capitalists注入了更多流動性，他們能夠更好地hedge against future risk。

擴張性貨幣政策對利率的影響

我們現(xiàn)在開始研究金融市場。關(guān)于金融市場里的定價，當(dāng)然有個SDF就萬事俱備了。既然現(xiàn)在模型已經(jīng)完全求解出來了，SDF當(dāng)然也是一個已知量，它在補償價格通脹之后就是：

$S_%7B0%2Ct%7D%3D%5Cbeta%5Et%5Cfrac%7BU_C'(C_t%5EC)%7D%7BU_C'(C_0%5EC)%7D%5Cfrac%7BP_0%7D%7BP_t%7D%3D%5Cbeta%5Et%5Cleft(%5Cfrac%7BC_t%5EC%7D%7BC_0%5EC%7D%5Cright)%5E%7B-%5Cgamma%7D%5Cfrac%7BP_0%7D%7BP_t%7D$

現(xiàn)在X和C都是已知量，SDF也就已知。我們可以用SDF來price各種花里胡哨的asset。先來考慮最簡單的一個：在0時刻購入，t時刻回報1的risk-free asset，其價格即為 $%5Cmathbb%7BE%7D_0S_%7B0%2Ct%7D$ 。我們先把SDF本身這個隨機變量對于sigma做線性展開：

$S_%7B0%2Ct%7D%3D%5Cbeta%5Ete%5E%7B-x_0%5Crho%5Cfrac%7B1-%5Crho%5Et%7D%7B1-%5Crho%7D%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_0%7D%7D%5Cright)%5E%7B-%5Cgamma%7D%5Cleft%5B1%2B%5Cgamma%5Csigma%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Ceta_%7Bt-1%7De%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_t%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Ceta_%7B-1%7De%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_0%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_0%7D%7D%5Cright)%5Cright%5D%2Bo(%5Csigma)$

取期望之后消去隨機的eta項，得到價格，然后再對x_0做線性展開：

$%5Cln%20%5Cmathbb%7BE%7D_0S_%7B0%2Ct%7D%3Dt%5Cln%5Cbeta%2Bx_0%5Cleft%5B-%5Crho%5Cfrac%7B1-%5Crho%5Et%7D%7B1-%5Crho%7D%2B(1-%5Crho%5Et)%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D%7D%7D%5Cgamma%5Cright%5D%2Bo(x_0)$

最終我們看到，對于足夠小的rho，asset price都是隨著x_0上升而上升的，這意味著擴張性貨幣政策能夠提高債券的價格，或者換句話說，降低利率。

擴張性貨幣政策對股權(quán)溢價的影響

有了SDF之后，我們當(dāng)然還可以計算equity premia，不過需要展開到更高階。作為一個例子，我們可以計算這樣一個asset的股權(quán)溢價：在t=2時刻回報non-wage income。同樣通過Taylor展開，得到以下結(jié)果：

$%5Cln%20%5Ctext%7BEP%7D%3D%5Csigma%5E2%5Cgamma%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%2Bo(%5Csigma%5E2)$

因此，在擴張性政策下，x_0上升，導(dǎo)致EP下降。直觀上來說，利率下降，股權(quán)溢價也下降，導(dǎo)致人們對于risk-free和risky asset的需求都在降低，于是消費上得到提升。

擴張性貨幣政策對VIX指數(shù)的影響

VIX指數(shù)也是一個更高階的量，我們將其定義為：

$%5Ctext%7BVIX%7D_0%3D%5Cmathbb%7BE%7D_0S_%7B0%2C2%7D(%5Cln%20R_2-%5Cmathbb%7BE%7D_0%5Cln%20R_2)%5E2$

它是股票市場波動性的一種表征。同樣通過Taylor展開來分析，最終的結(jié)論是：當(dāng)參數(shù) $(%5Crho%2C%5Cgamma)$ 滿足以下不等式時，就能夠同時保證在擴張性政策下，利率下降的同時，VIX指數(shù)也在下降：

$%5Cgamma%5Crho%5E2%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%2B%5Crho%5E2%3C%5Cgamma%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_0%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-x_0%7D%7D%3C(1%2B%5Cgamma)%5Crho%5E2%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%7B1-e%5E%7B%5Cbar%7B%5Cphi%7D-%5Crho%5E2x_0%7D%7D%2B2%5Crho%5E2$

關(guān)于labor supply的考察

在上文的模型中，基于一些特殊的設(shè)定，labor supply是一個固定值，所以沒法考察擴張性政策對labor supply的影響。為了考察這一點，我們可以把workers節(jié)點的效用函數(shù)一般化：

$U_W(C_t%2CN_t)%3D%5Cfrac%7B(C_t)%5E%7B1-%5Cgamma%7D%7D%7B1-%5Cgamma%7D-%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B1%2B%5Cvarphi%7D(N_t)%5E%7B1%2B%5Cvarphi%7D$

也就是把消費這部分換成了更加一般的isoelastic utility。（通常這個 $%5Cgamma$ 的risk aversion參數(shù)是大于1的，甚至可以到達50）

在這個修改之下，workers節(jié)點的Euler方程會變成：

$(N_t)%5E%7B1%2B%5Cvarphi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B%5Ctheta%7D%5Cmathbb%7BE%7D_t(C_%7Bt%2B1%7D%5EW)%5E%7B1-%5Cgamma%7D$

假如我們沿用之前的結(jié)論，即擴張性政策下workers的消費下降，那么labor supply就會上升，也就意味著employment上升，output也會上升。這和經(jīng)典的story是吻合的。當(dāng)然了，模型修改之后workers消費確實還是下降嗎？其實可以留待以后仔細(xì)分析。畢竟雖然wage income的share下降了，但整體蛋糕變大了，workers的消費其實沒法直白地看出來。

總結(jié)

從模型的建立角度來說，是一個普通的competitive equilibrium模型，或者說是DSGE模型。這種模型建立的思路/公理就是：

在個體節(jié)點層面，給定價格，做最優(yōu)化（注意分清楚狀態(tài)變量和控制變量），通常用Bellman方程；
在系統(tǒng)整體方面，涌現(xiàn)出的價格系統(tǒng)讓整體系統(tǒng)臨界，即通過market clear求解出價格，從而獲得具體的equilibrium allocation。

這個模型略有不同的地方在于，下層公司節(jié)點并不存在節(jié)點最優(yōu)化的限制，所以少了一個方程；但它又給出了價格之間的限制，補足了少掉的方程，所以最終依然是可以pin down整個模型的，即使不做簡化條件下的近似分析，依然可以用數(shù)值計算來完整地模擬系統(tǒng)的動力學(xué)。

這個模型在施加各種簡化條件后，能夠在一階近似下給出比較干凈的explicit solution，作為一個代表性的特例來做分析。很顯然它還缺了很多東西，比如總產(chǎn)出的動力學(xué)，這些都可以通過修改或者去除簡化條件做到，不過會復(fù)雜得多（即使只是做線性近似）。

從經(jīng)濟學(xué)結(jié)論的角度，大致上就是強調(diào)了一下redistribution channel的重要性，至于算出來的各種高階項，我不懂金融，就不瞎解讀了。

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