預(yù)備知識(shí)：

1. 夾逼準(zhǔn)則：若三個(gè)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項(xiàng)開始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，則lim yn=a.

2. 兩個(gè)多項(xiàng)式f（x），g（x）互素的充分必要條件是存在多項(xiàng)式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

3. 如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.

4. 已知（f（x），g（x））=1，則（f（x），f（x）+g（x））=1，（g（x），f（x）+g（x））=1.

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《大學(xué)教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）》（總策劃：薛金星 主編：劉建波）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

按定義證明下列數(shù)列是無窮小量——

1. lim n/a^n，a>1；

2. lim n^k/a^n，a>1；

3. lim n^2/3^n.

證：

1. 用牛頓二項(xiàng)式定理/伯努利不等式——

1. a>1，則令a=1+λ，則當(dāng)n>3時(shí)，

   a^n

   =（1+λ）^n

   =1+nλ+n（n-1）λ^2/2+…

   >n（n-1）λ^2/2；

2. 對(duì)任意ε>0，存在N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，

   |n/a^n|

   <|n/[n（n-1）λ^2/2]|

   =1/|[（n-1）λ^2/2]|

   =2/[（n-1）（a-1）^2]
   

   <ε，

   取N=【2/[ε（a-1）^2]+1】即可，于是，lim n/a^n=0.

2. 用牛頓二項(xiàng)式定理/伯努利不等式——

1. a>1，則a^（1/k）>1，由1：對(duì)任意ε>0，存在N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，|n/[a^（1/k）]^n|<ε^（1/k）；

2. 于是，對(duì)任意ε>0，存在N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，|n^k/a^n|=|n/[a^（1/k）]^n|^k<ε，于是，lim n^k/a^n=0.

3. 按照上述思路——

1. 先證lim n/[3^（1/2）]^n=0——
   

1. 3^（1/2）>1，則令3^（1/2）=1+λ，則當(dāng)n>3時(shí)，

   [3^（1/2）]^n

   =（1+λ）^n

   =1+nλ+n（n-1）λ^2/2+…

   >n（n-1）λ^2/2；

2. 對(duì)任意ε>0，存在N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，

   |n/[3^（1/2）]^n|

   <|n/[n（n-1）λ^2/2]|

   =1/|[（n-1）λ^2/2]|

   =2/[（n-1）[3^（1/2）-1]^2]
   

   <ε^（1/2)，

   取N=【2/[ε^（1/2)[3^（1/2）-1]^2]+1】即可，于是，lim n/[3^（1/2）]^n=0.

2. 再證lim n^2/3^n=0——

1. 由a：對(duì)任意ε>0，存在N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，|n^2/3^n|=|n/[3^（1/2）]^n|^2<ε，取N=【2/[ε^（1/2)[3^（1/2）-1]^2]+1】即可，于是，lim n^2/3^n=0.

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

在平行六面體ABCD-EFGH中，設(shè)AB=e1，AD=e2，AE=e3，三個(gè)面上對(duì)角線向量設(shè)為AC=p，AH=q，AF=r，試把向量a=λp+μq+νr寫成e1，e2，e3的線性組合。

解：

1. AC=AB+AD=e1+e2=p，AH=AD+AE=e2+e3=q，AB+AE=e1+e3=r；

2. a=λp+μq+νr=λ（e1+e2）+μ（e2+e3）+ν（e1+e3）=（λ+ν）e1+（λ+μ）e2+（μ+ν）e3.

高等代數(shù)——

例題（來自《大學(xué)教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）（總策劃：薛金星 主編：劉建波）》）——

證明：對(duì)于任意額正整數(shù)n，都存在多項(xiàng)式f（x），使得

（x-1）^n|f（x）+1，（x+1）^n|f（x）-1.

證：存在性證明，在于找到/構(gòu)造一個(gè)符合或者不符合條件的例子，只要找到/構(gòu)造一個(gè)符合條件的f（x）即可——

1. 由預(yù)備定理2易得：（-1/2）（x-1）+（1/2）（x+1）=1，等價(jià)于，（x-1，x+1）=1；

2. 由預(yù)備定理3易得：（（x-1）^n，（x+1）^n）=1，等價(jià)于，

   存在多項(xiàng)式u（x），v（x），使得u（x）（x-1）^n+v（x）（x+1）^n=1，等價(jià)于

   2u（x）（x-1）^n+2v（x）（x+1）^n=2，等價(jià)于

   2u（x）（x-1）^n-1=1-2v（x）（x+1）^n；

3. 令f（x）=2u（x）（x-1）^n-1=1-2v（x）（x+1）^n，

   所以f（x）+1=2u（x）（x-1）^n，即（x-1）^n|f（x）+1，同理，（x+1）^n|f（x）-1.