????開(kāi)新坑了，主要是自己復(fù)習(xí)用以及力所能及地給予考試周的大家一點(diǎn)幫助，這個(gè)筆記實(shí)際上已經(jīng)做好了，但是更新的話主要是碼字，需要給予一些學(xué)習(xí)完整本《高等代數(shù)》之后對(duì)于章節(jié)之間聯(lián)系的一些思考。

????教材是：《高等代數(shù)》（第五版）王萼芳、石生明，高等教育出版社

????先開(kāi)的是我七月初要期末考的部分的內(nèi)容：線性空間，線性變換，歐氏空間

????教材及教材答案鏈接如下，百度網(wǎng)盤自?。?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03 font-size-12">https://pan.baidu.com/s/11wqr5a_xb78Y0pkWlZqvVQ? ? 提取碼：js66

????希望大家三連加關(guān)注！會(huì)更新更多有趣有用的內(nèi)容！?

????前排提示：這個(gè)系列的文章的學(xué)習(xí)方式是先看我文字的敘述，然后文字里有提及到的筆記內(nèi)容你可以點(diǎn)開(kāi)筆記看看并理解，最后看完這節(jié)的內(nèi)容后可以嘗試做做我的例題，再對(duì)照我的答案，整章看完后最后再找教材所有題目和補(bǔ)充題都過(guò)一遍，不會(huì)是很正常的事情，看完答案會(huì)了之后就得了，考試的話除非你的學(xué)校是賊牛逼的，不然不會(huì)考太難的，相信我啦！

????線性空間的概念實(shí)際上這本教材寫得不是很好，我覺(jué)得應(yīng)該換個(gè)角度來(lái)理解。用大白話來(lái)說(shuō)，高等代數(shù)實(shí)際上是一個(gè)游戲，你要玩這個(gè)游戲，必須要有游戲的場(chǎng)地和規(guī)則。而線性空間則包括了這兩者，它提供了一個(gè)玩代數(shù)的場(chǎng)地，也提供了玩代數(shù)的規(guī)則。線性空間就是場(chǎng)地，而初始規(guī)則就是你在這個(gè)空間玩游戲，這個(gè)空間必須裝配加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算。對(duì)于加法和數(shù)乘，你還必須各滿足四條規(guī)則。就像是筆記中所寫的一樣，我用加法：交換、結(jié)合、零元、負(fù)元；數(shù)乘：?jiǎn)挝辉Y(jié)合律，兩個(gè)分配律來(lái)記憶他們。只有你遵循了這些個(gè)法則，你才能在這個(gè)線性空間里玩代數(shù)游戲。至于為什么叫線性空間，大家都應(yīng)該知道加法和數(shù)乘都是線性運(yùn)算，所以裝配了加法和數(shù)乘的空間叫做線性空間。

????這里考點(diǎn)不多，上述例題是一個(gè)考點(diǎn)，即讓你證明一個(gè)定義了加法和數(shù)乘的空間是不是一個(gè)線性空間，按照加法四條數(shù)乘四條一條一條驗(yàn)證即可。

????需要注意的是，零元不一定是0，單位元不一定是1，負(fù)元也不一定是相反數(shù)，對(duì)于空間中向量的運(yùn)算，以及對(duì)于數(shù)域中的數(shù)，一定要遵循每一個(gè)線性空間的游戲規(guī)則。

????上節(jié)講到線性空間就是一個(gè)裝配了加法和數(shù)乘的游戲場(chǎng)地和規(guī)則，那么基就是這個(gè)游戲開(kāi)始的基本點(diǎn)，你也可以說(shuō)是新手關(guān)，你要到達(dá)高階關(guān)卡和技巧，都需要經(jīng)過(guò)基這一關(guān)。而維數(shù)就是所謂基的個(gè)數(shù)。

????前面一些筆記是第三章線性方程組的時(shí)候討論過(guò)的一些結(jié)論，這些我就不贅述了，需要牢記那幾個(gè)比較常用的，證明題可能會(huì)用到。

????你玩游戲的時(shí)候新手關(guān)會(huì)為你提供什么信息？其實(shí)就是這個(gè)游戲最基本的玩法。而基也同樣，因?yàn)檎麄€(gè)代數(shù)游戲的空間都是由基張成的，也就是說(shuō)只要定下來(lái)基，再加上線性空間僅有的加法和數(shù)乘規(guī)則，我就能夠用基和這些規(guī)則把向量張滿整個(gè)空間，而加法決定的是方向，數(shù)乘決定的是長(zhǎng)度。

????下面來(lái)舉個(gè)例子，讓大家更好地理解：

????比如我們所在的三維空間，我們所說(shuō)的基實(shí)際上就是三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，我們可以建立一個(gè)三維的直角坐標(biāo)系，即O-xyz，這個(gè)坐標(biāo)系一旦確立，你就可以用坐標(biāo)表示出在這個(gè)空間的任意一個(gè)點(diǎn)，那么利用這個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系提供的單位向量，我們就可以通過(guò)加法和數(shù)乘規(guī)則將他們張成整個(gè)三維空間。

????因而你就可以理解為什么每一個(gè)向量都可以被基表出，因?yàn)槟忝恳粋€(gè)游戲的高階關(guān)卡技巧都是由新手關(guān)告訴你的玩法開(kāi)發(fā)而成的。

????當(dāng)然你也可以理解為什么基一定是線性無(wú)關(guān)的，你有見(jiàn)過(guò)介紹同一個(gè)玩法的兩個(gè)不同新手關(guān)嗎，這不是腦癱嗎？

????最后你也一定能夠理解為什么基的數(shù)量要最大化，就是線性無(wú)關(guān)的個(gè)數(shù)不能更多了，因?yàn)槟阋谛率株P(guān)把這個(gè)游戲的玩法給玩家介紹清楚，不然玩家就會(huì)玩得不明白，然后就不會(huì)給你氪金了（doge）。

????幾個(gè)例題都展示了不同線性空間的基，值得注意的是，線性空間可以有不同的基，這些基都等價(jià)。

????計(jì)算部分比較簡(jiǎn)單，但是一定會(huì)考，這部分例題做一遍，然后再去課后找一些題練練手計(jì)算。

????基變換和坐標(biāo)變換這一個(gè)內(nèi)容要說(shuō)起來(lái)就更簡(jiǎn)單了。

????基可以不同，但是可以相互轉(zhuǎn)換，終歸只要保證線性無(wú)關(guān)并可以張成整個(gè)空間就可以了。這是肯定的，就像你新手關(guān)可以不同，但是只要講述的還是這個(gè)游戲的主要玩法并且完整就行了，你先講裝備再講操作，先講操作再講裝備，操作裝備夾雜著一起講并沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別。

????所以這個(gè)基與基之間的轉(zhuǎn)換，我們借助的就是一個(gè)叫做過(guò)渡矩陣的東西，那接下來(lái)就是簡(jiǎn)單的一些逆矩陣和矩陣乘法的運(yùn)算了，只要牢牢記住坐標(biāo)變換公式就可以了。

????再次強(qiáng)調(diào)，基變換公式如下：

????這里也會(huì)設(shè)置考點(diǎn)，無(wú)非就是讓你求過(guò)渡矩陣，或者讓你求這個(gè)過(guò)渡矩陣操作完之后另一組基是啥，這個(gè)向量在另一組基的坐標(biāo)，牢牢抓住坐標(biāo)變換公式并熟練計(jì)算即可。

????計(jì)算的時(shí)候就像我上面筆記寫到的，設(shè)各個(gè)線性空間常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)基，再去計(jì)算即可！

????講到這個(gè)線性空間，它是一個(gè)完整的游戲施展手腳的空間。

????那他的子空間是什么呢？都說(shuō)到是父子關(guān)系了，所以總有點(diǎn)血緣關(guān)系吧，所以子空間在自己的小空間里也必須滿足加法和數(shù)乘那八條游戲規(guī)則，而且做兒子的總不能比做爹的大吧，所以維數(shù)只能小于或等于原本的線性空間。

????用游戲的話來(lái)說(shuō)，子空間就是游戲的若干個(gè)章節(jié)，游戲章節(jié)基于游戲本體，玩法規(guī)則什么的也一樣，章節(jié)的內(nèi)容也不會(huì)超過(guò)整個(gè)游戲。

????那么擴(kuò)基定理也很好解釋了，若干個(gè)章節(jié)的內(nèi)容就那么多，不會(huì)超過(guò)游戲本體，那么你把其他章節(jié)的內(nèi)容塞進(jìn)去，不就成了游戲本體嗎？這總是可以做到的吧。

????這里著重講的是在一個(gè)線性空間里，取出一組基里的若干個(gè)，由這些基表出的所有向量也構(gòu)成一個(gè)線性空間，叫做由線性空間生成的子空間，取出的這若干個(gè)基，即為這個(gè)子空間的基。具體性質(zhì)可以看上述筆記。

????第4節(jié)的練習(xí)一般也就是擴(kuò)基定理的計(jì)算，參照上述例題即可。如果說(shuō)會(huì)出難題，就僅僅圍繞著子空間滿足原有線性空間的加法和數(shù)乘規(guī)則去操作。

????再到交與和，用游戲的話術(shù)來(lái)說(shuō)，交就是不同章節(jié)之間共同闡述的游戲劇情，和就是不同章節(jié)一共講述了多少劇情，這個(gè)很好理解?？偠灾?strong>交就是取相同的，和就是加和。而交空間與和空間都是原線性空間的子空間，這個(gè)也很好理解，因?yàn)橐矟M足加法和數(shù)乘原則。

????具體可以通過(guò)上述例題再直觀地感受一下交與和的定義。還要注意“并”的問(wèn)題，參照上述注。

????接下來(lái)就來(lái)到本節(jié)最重要的內(nèi)容，交與和跟原子空間有什么關(guān)系呢？這就是維數(shù)公式：

????由維數(shù)公式可以直觀地看出，兩個(gè)子空間的和或者交的維數(shù)一般會(huì)比原來(lái)兩個(gè)子空間的維數(shù)之和要小。

????第5節(jié)的題目，一個(gè)是兩個(gè)子空間的交與和的計(jì)算再加上擴(kuò)基定理，另一個(gè)就是根據(jù)維數(shù)公式所出的證明題。前者參照上述例題的解題方式即可，所有有可能有疑惑的點(diǎn)我都已經(jīng)用熒光筆和紅筆著重標(biāo)出。后者則是緊緊把握維數(shù)公式即可。

????然后是直和。上面我們介紹了維數(shù)公式，其中有一種特殊情況，就是這個(gè)游戲的兩個(gè)章節(jié)之間居然沒(méi)有任何相關(guān)內(nèi)容，就是兩個(gè)子空間的交居然只有零元，這個(gè)時(shí)候子空間的交的維數(shù)是0，那么維數(shù)公式就變成了：

????這個(gè)時(shí)候就把兩個(gè)子空間的和稱作兩個(gè)子空間的直和，記作：

????這個(gè)直和也很好理解，其實(shí)就是兩個(gè)沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)的游戲章節(jié)加在一起形成的新章節(jié)。于是要判定直和，就會(huì)有定理11的判定，包括零向量的表法唯一，滿足沒(méi)有交項(xiàng)的維數(shù)公式，以及子空間的交只含有零向量，證明題就根據(jù)定理11去思考！

????題目的話非常重要，幾個(gè)例題都要理解清楚！讓你證明直和是通過(guò)定理11的三個(gè)等價(jià)條件去思考，哪個(gè)可以證明就用哪一個(gè)即可。用熒光筆標(biāo)明的例題和步驟更是需要十分清楚明白。

????還有一個(gè)要注意的點(diǎn)是余子空間，即一個(gè)完整的線性空間可以表成一個(gè)子空間和一個(gè)余子空間的直和，其實(shí)就是若干個(gè)章節(jié)加上除了這幾個(gè)章節(jié)之外的其他章節(jié)就是完整的游戲，這個(gè)概念知道就可以了。

????同構(gòu)很有意思。它存在的意義是什么呢？你可以這么理解：同構(gòu)是兩個(gè)游戲之間的關(guān)系。

????這兩個(gè)游戲舉個(gè)例子就是英雄聯(lián)盟和王者榮耀：

它們?cè)谌魏纬潭壬隙际且灰粚?duì)應(yīng)的，比如在玩法上，摧毀水晶和摧毀中樞一一對(duì)應(yīng)；在裝備上，破敗王者之刃和末世一一對(duì)應(yīng)等等；在英雄上，寒冰射手和后羿一一對(duì)應(yīng)等等……因?yàn)槟阍趦烧咧g任選一者實(shí)施任何操作，你都能在另一者中找到相應(yīng)的操作與之對(duì)應(yīng)，你就可以明白為什么要求同構(gòu)必須是一個(gè)雙射了。

????回到線性空間這里，線性空間需要裝配加法和數(shù)乘，而線性空間的同構(gòu)要求雙射，也就是說(shuō)，你在一個(gè)線性空間中進(jìn)行的操作，通過(guò)同構(gòu)這個(gè)映射，都能在另一個(gè)線性空間中得到相應(yīng)的操作，也就是兩個(gè)空間的操作可以相互轉(zhuǎn)換，且一一對(duì)應(yīng)，而這兩個(gè)線性空間只是名字不一樣而已，本質(zhì)上是一樣的。

????怎么能夠做到本質(zhì)上一樣呢，我們就用到基和維數(shù)的概念。用游戲的話就很好說(shuō)了，只要你兩個(gè)游戲的玩法是一模一樣的，這兩個(gè)游戲就是一樣的。無(wú)論你怎么套上一層外皮，內(nèi)核都是不變的，就像是王者榮耀和英雄聯(lián)盟。所以就有最為重要的定理12：兩個(gè)線性空間同構(gòu)的充要條件是它們維數(shù)相等。

????因此這節(jié)的題目，就是證明同構(gòu)，有兩個(gè)方向：一個(gè)是證明維數(shù)相等，而另一個(gè)就是按照最為原本的定義，證明雙射加線性（滿足加法和數(shù)乘）即可。例題弄懂就可以了，考得不多。

????至此，線性空間的基礎(chǔ)講解就結(jié)束了，那么接下來(lái)就是最為重要的在線性空間上進(jìn)行的操作線性變換了，這個(gè)系列在我期末考前不一定更完，所以要考試的同學(xué)還是不要等我了，比較費(fèi)事情的系列。

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????再次感謝大家的支持，如果你覺(jué)得對(duì)你有用的話，不妨三連加關(guān)注噢，Jeasun的空間有很多不錯(cuò)的內(nèi)容并且會(huì)更新更多相關(guān)內(nèi)容，敬請(qǐng)期待啦！