設(shè)A=【As；s∈S】是集合X的一個(gè)覆蓋。A的一個(gè)收縮是指X的滿足下面條件的覆蓋B=【Bs；s∈S】；對任意的s∈S，Bs?As。

進(jìn)一步，給出下面的定義

定義? ?設(shè)A=【As；s∈S】是集合X的一個(gè)子集族。A的一個(gè)膨脹是指X的一個(gè)滿足下面條件的子集族B=【Bs；s∈S】；

i? 對任意的s∈S，As ?Bs；

ii? 對S的任意有限子族S0，有?s∈S0∩As=Φ當(dāng)且僅當(dāng)s∈S0∩Bs=Φ?

(2) 設(shè)A是X的子集族，如果對任意的x∈X?，集合【A∈A；x∈A】是有限的，那么，我們稱A是點(diǎn)有限的子集族。

引理? 設(shè)X是正規(guī)空間，則

（1）對X的任意點(diǎn)有限的開覆蓋U=【Us；s∈S】存在一個(gè)開收縮ν=【νs；s∈S】滿足條件；對任意的s∈S，clνs?Us

（2）對X的任意有限閉集族F=【Fi；i=1，…，K】及開集族U=【Ui；i=1，…，K】若對任意的i≤K，F(xiàn)i?Ui，則存在一個(gè)開集族ν=【νi；i=1,…，K】使得Fi?νi?clνi?Ui且【clνi；i=1,…，K】是F的一個(gè)膨脹。