一、問(wèn)題提出

“重力恢復(fù)與氣候?qū)嶒?yàn)”（GRACE）為監(jiān)測(cè)地球系統(tǒng)內(nèi)全球大尺度質(zhì)量變化提供了一種新途徑。自2002年3月發(fā)射以來(lái)，GRACE一直在生成時(shí)間變化的重力場(chǎng)模型，這些模型可用于量化與全球氣候變化相關(guān)的地球系統(tǒng)不同組成部分內(nèi)的質(zhì)量再分配，包括陸地水儲(chǔ)存（TWS）變化，海平面變化，以及極地冰蓋和山地冰川的冰質(zhì)量平衡。GRACE還提供了衡量與大地震相關(guān)的質(zhì)量變化的獨(dú)特手段，并在研究地震形變（特別是對(duì)于海洋地震）方面為地球表面測(cè)量提供了有效補(bǔ)充。除了重力場(chǎng)模型外，最近，GRACE還生成了時(shí)間變化的mascon解，直接表示地表質(zhì)量變化。

GRACE的Level-2產(chǎn)品，即以完全歸一化球諧（SH）系數(shù)形式發(fā)布的月度SH重力場(chǎng)解，已被廣泛用于研究地球內(nèi)外的質(zhì)量變化。月度SH系數(shù)可以轉(zhuǎn)換為等效水高（EWH）變化（Wahr et al.，1998），然后用于表示全球質(zhì)量再分配。然而，從重力場(chǎng)變化反演到質(zhì)量再分配是不唯一的。因此，必須假設(shè)質(zhì)量變化發(fā)生在地球表面上，以從GRACE的時(shí)間變化重力場(chǎng)推斷出EWH變化（Wahr et al.，1998）。由于GRACE觀測(cè)中大部分主要的重力變化信號(hào)來(lái)自發(fā)生在地球表面上的地球物理過(guò)程（例如，陸地水運(yùn)輸和冰融化），這種2-D假設(shè)已經(jīng)被證明在各種應(yīng)用中是地球現(xiàn)實(shí)的很好表示。同時(shí)，還假設(shè)地球是一個(gè)球體，以簡(jiǎn)化并使得從GRACE SH系數(shù)到EWH變化的推導(dǎo)成為可能（Wahr et al.，1998），這個(gè)假設(shè)認(rèn)為質(zhì)量變化發(fā)生在代表地球（或地球平均形狀）的球體表面上。

然而，真實(shí)的地球形狀更接近橢球體而不是球體，北（或南）極的半徑比赤道短約22公里（約6,356公里對(duì)比約6,378公里；）。在利用GRACE SH解提供的外部重力場(chǎng)變化進(jìn)行質(zhì)量變化反演時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，質(zhì)量源被假設(shè)位于球體表面上。在這種情況下，球體上的質(zhì)量變化與外部重力場(chǎng)之間存在一對(duì)一的關(guān)系，根據(jù)外部重力場(chǎng)和球體表面質(zhì)量的SH表達(dá)式（在2-D假設(shè)下；參見(jiàn)Wahr et al.，1998）。然而，由于橢球體更好地表示地球的形狀，質(zhì)量變化應(yīng)該在橢球體上進(jìn)行分配，其中質(zhì)量源到外部觀測(cè)點(diǎn)的距離比球體情況下更大。以極地地區(qū)為例，為了在外部觀測(cè)點(diǎn)上引起相同的重力場(chǎng)變化，橢球體上相應(yīng)的質(zhì)量變化應(yīng)該比球體上的大（因?yàn)橘|(zhì)量源到觀測(cè)點(diǎn)的距離更長(zhǎng)）。因此，根據(jù)球體地球模型假設(shè)（Wahr et al.，1998）常用的從GRACE SH解逆推質(zhì)量變化的方法將導(dǎo)致偏差，因?yàn)檎鎸?shí)的質(zhì)量變化應(yīng)該在球體內(nèi)部的橢球體上。關(guān)于這個(gè)偏差，真實(shí)的質(zhì)量變化應(yīng)該比在球體地球假設(shè)下估計(jì)的要大。從現(xiàn)在起，將這個(gè)偏差稱(chēng)為橢球體修正。

地球的形狀比球體更接近橢球體。在質(zhì)量變化反演中，通常使用球體近似會(huì)導(dǎo)致來(lái)自“重力恢復(fù)與氣候?qū)嶒?yàn)”（GRACE）的球諧（SH）解產(chǎn)生偏差。

二、反演方法匯總

（1）經(jīng)典的質(zhì)量恢復(fù)原理可以在以下的文章中找到：

反演理論：正球體假設(shè)，2D質(zhì)量分布假設(shè)

?（2）加入橢球改正

文章提到橢球改正包括Li et al. (2017), Ditmar(2018)。

Li et al.(2017)文章摘要

地球的形狀比球體更接近橢球體。在質(zhì)量變化反演中通常采用的球體近似會(huì)導(dǎo)致來(lái)自“重力恢復(fù)與氣候?qū)嶒?yàn)”（GRACE）的球諧（SH）解產(chǎn)生偏差，特別是在目前冰川損失顯著的高緯度地區(qū)。根據(jù)基于合成質(zhì)量變化率模型的模擬評(píng)估，這種偏差，或者說(shuō)橢球體修正，可能高達(dá)8%。進(jìn)一步評(píng)估使用了14多年的GRACE月度SH解（從2002年4月至2016年12月），表明橢球體修正在極地地區(qū)的總質(zhì)量變化時(shí)間序列中也是顯著的。在進(jìn)行橢球體修正前后，來(lái)自質(zhì)量變化時(shí)間序列的估計(jì)線(xiàn)性速率在格陵蘭、南極半島、阿蒙森海灣、阿拉斯加冰川和斯瓦爾巴群島等五個(gè)選擇區(qū)域上分別相差4.3%、4.7%、5.2%、5.7%和6.6%。盡管這些差異的振幅可能低于當(dāng)前GRACE的不確定性水平，但這些差異在這五個(gè)地區(qū)都是一致的負(fù)值。這表明球體近似會(huì)導(dǎo)致對(duì)極地質(zhì)量變化速率的系統(tǒng)低估。因此，對(duì)于使用GRACE SH解進(jìn)行更精確的質(zhì)量恢復(fù)，需要考慮橢球體修正。這也取決于質(zhì)量變化信號(hào)的空間尺度（空間尺度越小，修正越大）。為了更可靠地估計(jì)GRACE SH解中的高緯度地表質(zhì)量變化，推薦使用橢球體修正，特別是針對(duì)極地地區(qū)的冰損信號(hào)。

Ditmar(2018)文章摘要

GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)估計(jì)的時(shí)間變化Stokes系數(shù)通常被轉(zhuǎn)換成地球表面的質(zhì)量異常，使用了由Wahr等人（J Geophys Res 103(B12):30,205–30,229, 1998）提出的相應(yīng)表達(dá)式。然而，用該表達(dá)式得到的結(jié)果代表了半徑為6378公里的球體表面上的質(zhì)量傳輸。我們發(fā)現(xiàn)，這種轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確性可能是不足的，特別是當(dāng)目標(biāo)區(qū)域位于極地地區(qū)且信噪比較高時(shí)。例如，在這種方式下，估計(jì)在2003年至2015年間格陵蘭和西南極地區(qū)的Amundsen海灣上的平均線(xiàn)性趨勢(shì)的峰值可能被低估約15%。作為解決方案，我們提出了一個(gè)更新的Stokes系數(shù)轉(zhuǎn)換成質(zhì)量異常的表達(dá)式。該表達(dá)式基于以下假設(shè)：（i）質(zhì)量傳輸發(fā)生在參考橢球體上，（ii）在每個(gè)感興趣點(diǎn)上，橢球面近似為球體，其半徑等于該點(diǎn)到地球中心的當(dāng)前徑向距離（“局部球面近似”）。這個(gè)更新的表達(dá)式幾乎和傳統(tǒng)使用的表達(dá)式一樣簡(jiǎn)單，但將轉(zhuǎn)換過(guò)程的不準(zhǔn)確性降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。另外，我們提醒讀者，轉(zhuǎn)換表達(dá)式是在球面（地心）坐標(biāo)中定義的。我們展示了在球面和橢球面（大地測(cè)量）坐標(biāo)之間計(jì)算質(zhì)量異常的差異可能是不可忽視的，因此不能忽略將大地緯度轉(zhuǎn)換為地心緯度。

其中Ditmar方法被CSR mascon數(shù)據(jù)處理采用，注意：用球諧系數(shù)進(jìn)行質(zhì)量反演，采用Whar et al.(1998)的方法，如果不進(jìn)行橢球改正，在高緯度地區(qū)得到的結(jié)果會(huì)與mascon差異較大。下圖是CSR mascon官網(wǎng)的備注。

Ditmar（2018）還提供了一個(gè)加入橢球改正的反演公式（可以替換Whar et al.(1998)的公式）

（3）加入地形改正

涉及的文章是Yang et al.(2022),其文章的摘要

傳統(tǒng)上，將重力Stokes系數(shù)轉(zhuǎn)換為地表質(zhì)量，例如在GRACE（-FO）應(yīng)用中，假定地球?yàn)橐粋€(gè)完美的球體，這顯然與實(shí)際情況不符。最近的研究通過(guò)考慮地球的扁率（橢球性）來(lái)糾正這種轉(zhuǎn)換。然而，由于地形的存在，地球的幾何形狀要復(fù)雜得多，因此既不是一個(gè)球體也不是一個(gè)完美的橢球體。最近的研究以及本文的研究結(jié)果表明，將地球形狀近似為一個(gè)假定的球體等幾何近似將不可避免地導(dǎo)致來(lái)自GRACE重力場(chǎng)的地表質(zhì)量估計(jì)中的偏差，從而可能對(duì)極地地區(qū)或山區(qū)的地球物理信號(hào)造成錯(cuò)誤解讀。

在這種情況下，我們提出了一種迭代縮放因子方法，通過(guò)考慮更真實(shí)的地球幾何形狀，包括其扁率、地形和大地面起伏，來(lái)實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的地表質(zhì)量估計(jì)。通過(guò)一系列模擬驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)所提出的方法高效（不超過(guò)四次迭代）、可靠（經(jīng)過(guò)廣泛的測(cè)試）和普遍準(zhǔn)確（至少減少80%的偏差）。

相對(duì)于我們的方法，在理想球體地球假設(shè)下，從GRACE估計(jì)的2002年至2015年的平均線(xiàn)性趨勢(shì)在格陵蘭和西南極地區(qū)被發(fā)現(xiàn)被低估了約3.1%和5.5%，其中與地形有關(guān)的貢獻(xiàn)分別為-0.5%（0.79 Gt/yr，負(fù)號(hào)表示高估）和-0.4%（0.34 Gt/yr）。盡管這個(gè)值很小，但它是一個(gè)值得考慮的系統(tǒng)偏差，例如，它大于通過(guò)將大氣去混疊產(chǎn)品從RL05切換到RL06對(duì)西南極地區(qū)趨勢(shì)估計(jì)的影響（0.3 Gt/yr）。此外，由地形引起的偏差在喜馬拉雅山區(qū)迅速增加到2.7%（0.26mm/yr），甚至比橢球體引起的偏差（0.19mm/yr）還要大。

根據(jù)迄今為止的結(jié)果，地形引起的偏差被發(fā)現(xiàn)大約比GRACE目前的測(cè)量誤差小一個(gè)數(shù)量級(jí)；然而，一旦GRACE朝著基準(zhǔn)準(zhǔn)確度的改進(jìn)，這個(gè)偏差將變得相關(guān)。特別是，對(duì)于預(yù)期在前所未有的準(zhǔn)確度和空間分辨率上繪制地球重力場(chǎng)的下一代地球重力模型（NGGM），應(yīng)考慮地形修正。

Yang et al.(2022)的方法路線(xiàn)圖

而且文章還提供了python的程序，可以復(fù)現(xiàn)文章的結(jié)果：https://doi.org/10.6084/m9.figshare.17072969.

代碼：

參考資料

Wahr J, Molenaar M, Bryan F (1998) Time variability of the Earth’s gravity field: hydrological and oceanic effects and their possible detection using GRACE. J Geophys Res Solid Earth 103(B12):30205–30229. https://doi.org/10.1029/98JB02844

Li J, Chen J, Li Z, Wang S-Y, Hu X (2017) Ellipsoidal correction in GRACE surface mass change estimation. J Geophys Res Solid Earth 122(11):9437–9460. https://doi.org/10.1002/ 2017JB014033

Ditmar P (2018) Conversion of time-varying Stokes coefficients into mass anomalies at the Earth’s surface considering the Earth’s oblateness. J Geodesy 92:1401–1412. https://doi.org/10.1007/ s00190-018-1128-0

Yang, F., et al. (2022). "On study of the Earth topography correction for the GRACE surface mass estimation." Journal of Geodesy 96(12).

感謝ChatGPT對(duì)翻譯的大力支持：https://openai.com/blog/chatgpt