昨天up主收到一位小伙伴的私信，問了up主這樣一道題目，據(jù)說是2022年的清華強基的試題

已知實數(shù)x，y 滿足 x2+y2+xy=3，求x2+y2-xy的取值范圍

沒做過的小伙伴可以先做一下 看到這個方程， Up主第一時間想到的就是一個橢圓吶 高中我們對于二次方程的理解僅局限于標準式

對于任意二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

（A B C不同時為0），其圖像均表示圓錐曲線（或退化圓錐曲線）

我們可以將其化簡為標準形式，先旋轉(zhuǎn)消去xy項，再通過平移消去一次項，如何操作可見up以前的專欄 【【方程圖象】理解圖象變換本質(zhì)，圖象變換與反函數(shù)之間不可告人的關(guān)系（高一生瞎搞）-嗶哩嗶哩】 https://b23.tv/YSRrq9L

以下是具體過程

使坐標軸旋轉(zhuǎn)θ角，這時

x=x′cosθ?y′sinθ

y=x′sinθ+y′cosθ

A′x′2+B′x′y′+C′y′2+D′x′+E′y′+F=0

A′=Acos2θ+Bsinθcosθ+Csin2θ,

B′=?2Asinθcosθ+Bcos2θ?Bsin2θ+2Csinθcosθ,

C′=Asin2θ?Bsinθcosθ+Ccos2θ,

D′=Dcosθ+Esinθ,

E′=?Dsinθ+Ecosθ

為了使B′=0,即

-2Asinθcosθ+B(cos2θ—sin2θ)+2Csinθcosθ=0,也就是使

Bcos2θ=(A-C)sin2θ,

只要取θ滿足下式就可以了：

tanθ=B/（A-C）

取滿足公式的角θ，作旋轉(zhuǎn)變換，就可以使方程中沒有x′y′項.

并且我們還可以知道旋轉(zhuǎn)角度

回到原題，本題中的橢圓x2+y2+xy=3，代入上式，可知tan2θ趨于無窮大，故原方程表示一個向左上傾斜45度的橢圓

同理x2+y2-xy表示一個向右上傾斜45度的橢圓，由題意知這兩個橢圓有交點

那么臨界情況就是一個橢圓的長軸等于另一個橢圓的短軸

我們用a表示半長軸，b表示半短軸

由于橢圓傾斜45度

將y?=x?和y?=-x?代入得x?2=1，x?2=3，所以橢圓的b2/a2=1/3

所以最終的答案就是[3×1/3，3/（1/3）]，也即[3,9]，這與標準答案是一致的