? ? ? 上次我們算出了三角形的高，中線，角平分線的公式，當(dāng)時我算出來的高的公式是

√(-a?-b?-c?+2a2b2+2b2c2+2c2a2)/2c

? ? ? 當(dāng)時我以為括號里的式子不能再化簡了，直到后來看到一個視頻，講了如何因式分解式子 ? ?a?+b?+c?-2a2b2-2b2c2-2c2a2，他將a看作字母，b，c看作數(shù)，進行因式分解，但是過程我不記得了，就順著這個思路進行分解：

原式＝a?-2a2b2-2a2c2+b?+c?-2b2c2

＝a?-2（b2+c2）a2+b?+c?-2b2c2

＝a?-2（b2+c2）a2+（b2-c2）2

? ? ? 到這一步后，我一開始想用平方差公式和十字相乘法進行因式分解，但是發(fā)現(xiàn)用了平方差后就無法用十字相乘法分解了。思考了一段時間后，我想到了配方，：

a?-2（b2+c2）a2+b?+c?-2b2c2

＝a?-2（b2+c2）a2+b?+c?+2b2c2-4b2c2

＝a?-2（b2+c2）a2+（b2+c2）2-4b2c2

＝（a2-b2-c2）2-（2bc）2

＝（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc）

這樣，我們就把這個式子分解了

所以三角形邊長為c的邊上的高

h＝

√[（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc）]/2c

面積S＝

√[（a2-b2-c2+2bc）（a2-b2-c2+2bc）]/4

? ? ? 再求出三角形的中線長和角平分線長的公式后，我又想，能不能求出三角形頂點和將它的對邊分成m,n兩份的點的連線（我稱之為“m∶n分邊線”）的長度，以及將一個內(nèi)角分為α和β兩部分的線段（我稱之為“α∶β分角線”）的長呢？也就是下面兩幅圖中的CD長

（1）“m：n分邊線”CD

? ? ?和上次的思路一樣，我仍然用余弦定理得出兩個等式，然后相減

a2＝m2+l2-2mlcosα ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

b2＝n2+l2-2nlcos（180°-α）

＝n2+l2+2nlcosα ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ②

①-②，得a2-b2

＝m2-n2-2lcosα（m+n）

＝（m+n）（m-n）-（m+n）2lcosα

＝（m+n）（m-n-2lcosα）

＝c（m-n-2lcosα）

＝mc-nc-2clcosα

所以2clcosα＝mc-nc-a2+b2

由余弦定理可以得到，

cosα＝（m2+l2-a2）/（2ml）

所以2cl·（m2+l2-a2）/（2ml）

＝mc-nc-a2+b2

消去2l，兩邊同乘m，得

c（m2+l2-a2）=m2c-mnc-ma2+mb2

所以cm2+cl2-ca2＝m2c-mnc-ma2+mb2

消去cm2，將ca2變?yōu)閙a2+na2并移到右邊，得

cl2＝ma2+na2+mb2-ma2-mnc

約去ma2和-ma2，兩邊同除以c，得

l2＝（na2+mb2-mnc）/c

＝a2n/c+b2m/c+mn

所以l＝√（a2n/c+b2m/c+mn）

（2）“α：β分角線”CD

? ? ?一開始，我打算用之前的方法，用余弦定理得出兩個式子，然后不斷變化，得出結(jié)果。但是我發(fā)現(xiàn)這種方法計算量很大（我懶得算了），所以我放棄了這種方法。

? ? ?接著，我想到了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。只要我用a，b，c，α，β表示出m/c，n/c以及mn，就可以直接代入“m：n分邊線”的公式得出“α∶β分角線”的公式。

? ? ?? 這時就用到了面積法。

? ? ? 由于△BDC和△ADC在BD，AD邊上的高相等，所以

S△BDC∶S△ADC＝BD∶AD

又因為S△BDC＝1/2×alsinα

S△ADC＝1/2 ×blsinβ

所以S△BDC∶S△ADC＝asinα∶bsinβ

所以asinα∶bsinβ＝BD∶AD＝m∶n

所以m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ

所以n/c＝bsinβ/（asinα+bsinβ）

m/c＝asinα/（asinα+bsinβ）

? ? ? 那么怎么表示mn呢？

因為m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ

所以我們可以設(shè)

c＝k（asinα+bsinβ）

m＝kasinα，n＝kbsinβ

k＝c/（asinα+bsinβ）

所以mn＝k2absinαsinβ

＝abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2

所以l2＝a2n/c+b2m/c-mn

＝a2bsinβ/（asinα+bsinβ）+b2asinα/（asinα+bsinβ）-abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2

＝ab（asinβ+bsinα）（asinα+bsinβ）/（asinα+bsinβ）2-abc2sinαsinβ/（asinα+bsinβ）2

＝［ab（a2sinαsinβ+b2sinαsinβ+absin2α+absin2β）-abc2sinαsinβ］/（asinα+bsinβ）2

＝［ab（a2sinαsinβ+b2sinαsinβ+absin2α+absin2β+2absinαsinβ-2absinαsinβ）-abc2sinαsinβ］/（asinα+bsinβ）2

＝ab［（a+b）2sinαsinβ-c2sinαsinβ+（sinα+sinβ）2ab］/（asinα+bsinβ）2

＝ab{[(a+b)2-c2]sinαsinβ+(sinα-sinβ)2ab}/

(asinα+bsinβ)2

＝ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)2ab]/（asinα+bsinβ）2

所以l＝√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)2ab]}/(asinα+bsinβ)

? ?? ?也許打字看起來有點亂，所以這一步我在紙上寫了一遍

這樣，我們就得到了三角形中“m∶n分邊線”和“α∶β分角線”的公式：

“m∶n分邊線”l＝√（a2n/c+b2m/c+mn）

“α∶β分角線”l＝√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)2ab]}/(asinα+bsinβ)

? ? ? 這篇文章真的花費了作者很長時間，喜歡就點個贊吧，三連更好

? ? ? 錯誤的地方可以指出來（錯別字就算了）?，真理越辯越明